f'(x)=1-ln(x)
         = x- (x*ln(x)-x)
F(x)=2x-x*ln(x)?

Non tu veux une primitive de f.

Donc la fonction F telle que F'(x)=f(x)=2x+1-xln(x)

J'y avais pensé aussi mais je ne sais pas pourquoi j'étais presque persuadée que c'était avec f'(x).
Donc la primitive F de f est F(x)=2x+1-xlnx ?

Non là tu as écris f. On cherche une fonction telle que soit dérivée soit 2x+1-xln(x)

Trouve une primitive de 2x
puis une primitive de 1
tu as déjà "trouvé" une primitive de xln(x)

range les comme il faut et tu obtiendras F

La primitive de 2x = x²
La primitive de 1 = x
La primitive de xlnx =(x²*ln(x))/2 -1/2
                                              = (x²*ln(x))/2 - x²/4
                                              = x²/4 * (2*ln(x)-1)
Donc F(x)=x² + x - x²/4*(2*ln(x)-1)!!

Je dois calculer ensuite en cm² l'aire de la partie du plan limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x=1 et x=e²
On utilise notre primitive avec 1 er e² pour calculer l'aire de la courbe:
F(x)= x²+x-x²/4*(2*ln(x)-1)dx = F(1) - F(e²)
                                                                =1²+1- 1²/4*(2*ln(1)-1) - (e²)²+e² - (e²)²/4*(2*ln(e²)-1)

???

Pour l'aire oui c'est bien F(e²)-F(1)

Rectification, oui en effet...
F(x)=x²+x-x²/2(lnx -1/2)

Puis, je fais F(1)-F(e²)

OUI!! ca y est je m'en souviens, c'est la valeur la plus grande moins la valeur la plus petite!!

DONC
F(x)= x² + x - (x²/x) * (ln(x)-1/2)    =    F(e²) - F(1)
= (e²)² + e² - ((e²)²/2) * (ln(e²) - 1/2)  -  1² + 1 - (1²/2) * (ln(1)-1/2)
= 21,04 -9/4
=18.79 cm² !!

Et bien F(e²) vaut 21.03859361, F(1) donc la valeur exacte de l'aire de la courbe est de 18.78859361 cm²

F(e²) = (e²)² + e²  - ((e²)²/2) * (ln(e²) -1/2)
           = e^4 + e^2 - (e^4/2) * (2-1/2)
           = e^4+ e^2 - (e^4/2) * 1  ?

Ah c'est mieux ! Et donc ? Il reste une dernière simplification.

Je vois pas comment plus simplifier :/ ?

et finalement l'aire est égale à ...

Pour avoir le resultat de e^4-3e^4/4 + e^2, je le calcule à la calculatrice, et j'ai 21.03.
21.03-9/4 = 18.78

Non !     ça se simplifie !

1 - (1/4) = ...

e^4−3e^4/4+e^2=e^2+e^4/4

Bien ! Mais ce serait bien de mettre des parenthèses !!!!

Et finalement la valeur exacte de l'aire est ... ?

e^2+(e^4/4)-9/4 = 1/4*(−9+4e^2+e^4)=18,78

Hé on a fini, merci infiniment pour l'aide que vous m'avez apporté et tout le temps que vous m'avez consacré tout le long de cet exercice, . Ca en valait la peine et ça m'as beaucoup aidé .
Bonne soirée!