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Exercice Isométrie et cosinus
Alors voilà j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre,
je vous donne l'énoncé
On désigne par C un cercle orienté de centre O et de rayon 1 dont [AB]
est un diamètre. On considère un point M de C tel que la longueur
de l'arc AM est égale à x, avec x appartient à l'intervalle
[0 ; Py ] et la médiatrice de [AM] coupe l'arc AM en M'.
Le point I est le milieu de [AM] et le point H est le projeté orthogonal
de M' sur (AB).
1) Démontrer que les triangles OHM' et OIA sont isométriques.
2) En calculant de deux manières différentes l'aire d'un triangle,
démontrer que sinx = 2cos(x/2) sin(x/2)
Je pense avoir reussi à trouver le résultat pour la première question,
mais en ce qui concerne la deuxième je ne comprends pas et ne voit
pas trop comment faire. Est-ce que vous pourriez m'aider à résoudre
cet exercice? Merci d'avance.
Raven
Euh, bonjour? Excusez moi si j'ai manqué de politesse! Je n'ai
meme pas pensé à dire "bonjour" ni aurevoir !
Alors je le fais ici 
Bye et merci d'avance!
Bonjour Raven,
Décidément la trigo est à la mode en seconde ces temps-ci.
La longeur de l'arc AM est de x (unité de longueur)
Comme le rayon du cercle est 1
L'angle AOM mesure x radians (définition du radian)
Question 1
Le triangle AOM est isocèle en O donc la médiatrice [OI] est aussi bissectrice
donc
angle AOM' = angle M'OM et ils mesurent tous deux x/2 radians
Comme OM = OA = 1 et [OM'] est un côté commun à OMM' et AOM'
les triangles sont isométriques
donc ils ont la même aire
Question 2
Aire OIA = 1/2 * OI * OM' = 1/2 * (1*sin(x/2)) * (1*cos(x/2))
Aire OIA = 1/2 * cos(x/2) * sin(x/2)
d'une part
Aire de OMA = 1/2 * OA * OH = 1/2 * (1 *sin x) * 1 = 1/2 * sin x
d'autre part
Aire de OMA = 2 * aire OIA = cos(x/2) * sin(x/2)
d'où la réponse en égalant les deux formules.
Re bonjour siOk !
J'ai juste une petite question encore... je n'arrive pas à savoir
comment faire pour prouver que sinx = cos(x/2) * sin(x/2)
j'aire Aire AOM = cos(x/2) * sin(x/2)
et je ne vois pas comment aller plus loin.
Merci de répondre.
Au revoir!
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