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Exercice limites d'une fonction
Bonjour, alors voilà pour mercredi, j'ai un exercice à faire portant sur les limites de fonction.
Voici l'énoncé :
On considère la fonction f définie sur 
\{2} par (x)= (-2x²+7x-9)/(x-2). On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O;
;
).
1) Déterminer les limites de f en 2. Que peut on en déduire ?
2) Déterminer les limites de f en -
et en +.
3) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x 
2, on puisse écrire f(x)=ax+b+ ((c)/(x-2)).
4) Déterminer les limites en - et en + de [f(x)-(ax+b)]. Que peut-on en déduire graphiquement ?
5) Étudier la position relative de la courbe représentative de f et de la droite D d'équation y=ax+b.
6) Calculer f'(x), étudier son signe et en déduire le tableau complet de variations de f.
7) Tracer la courbe représentative Cf de cette fonction, ainsi que la droite D.
Voici ce que j'ai trouvé :
1) On a lim (-2x²+7x-8) quand x
2 et x<2= -2
Puis nous avons, lim (x-2)=0-, par quotient nous avons donc lim f(x)= +. Maintenant quand x2 avec x>2, nous obtenons par le même raisonnement, -2/0+ soit lim f(x)=-.
On peut en déduire qu'il y a une asymptote vertical avec comme équation x=2.
2) Alors, lim -2x² = - et lim (x-2) = +, nous avons donc une forme indéterminée avec /. On va lever cette F.I en mettant en facteur le plus grand terme, soit : (x²(-2+(7/x)-(8/x²))/(1-2x), on obtient (x(-2+0-0))/1 donc lim f(x) lorsque x +=+
Par le même raisonnement lim f(x) lorsque x-=-.
Ensuite pour la question 3, je ne comprends pas vraiment ce qui est demandé ...
Merci d'avance pour votre aide !
salut
j'appelle N et D le nérateur et le dénominateur de f(x)
1/ pour la limite de N en 2 il n'y a pas besoin de savoir si x tend vers 2 à gauche ou à droite mais c'est nécessaire seulement pour le dénominateur D
2/ factorise N par x^2 et D par x ...
Bonjour, d'accord merci, du coup pour la question 1 c'est bon ou pas du tout ?
Pour la question c'est ce que j'ai fais, non ?
Autant pour moi j'ai oublié le x en facteur sur le dénominateur,
Alors, lim -2x² = - et lim (x-2) = +, nous avons donc une forme indéterminée avec /. On va lever cette F.I en mettant en facteur le plus grand terme, soit : (x²(-2+(7/x)-(8/x²))/(x(1-2x)), on obtient (x(-2+0-0))/1 donc lim f(x) lorsque x +=+
Par le même raisonnement lim f(x) lorsque x-=-.
1/ oui c'est bon ...
2/ inutile de faire ou rédiger quoi que ce soit si tu as une FI et transforme immédiatement l'écriture de f(x) ...
sinon c'est bon mais à rédiger correctement ...
Par contre la question 3, je suis perdu, je ne comprends pas ce qu'il faut faire, si quelqu'un peut m'éclairer, merciii !
dans l'énoncé f est donnée sous forme d'une fraction et on te demande de l'écrire sous une autre forme (comme les formes développée, factorisée et canonique d'un trinome)
pars de ce qu'on te demande, réduis au même dénominateur et identifie avec l'expression initiale de f ...
f(x)=ax+b+(c/(x-2)) soit f(x)= ((ax+b)(x-2))+ C/(x-2) donc ((-2x²+7x)/x-2))-8 = ((ax+b)(x-2))+C/(x-2)
On a donc : (ax²-2ax+bx-2b +C)/ (x-2) = (x²+x(-2a+b)-2b+C)/(x-2)
On a donc a=-2, 2a+b=7 soit b=11 puis -8=-2b+C soit C=14
Dites moi ce que vous en pensez 
.
Merciii d'avance !
c'est mal rédigé et il faut écrire en théorie un système
ax + b + c/(x - 2) = [(ax + b)(x - 2) + c]/(x - 2) = [x² - 2ax + bx - 2b + c]/ (x - 2) = [x² + x(-2a + b) - 2b + c)/(x - 2) = (-2x² + 7x - 9]/(x - 2)
donc a = -2, 2a + b=7 et -2b + c = -9 soit b = 11 puis -9 = -2b + c soit C = 14
D'accord je vous remercie, par contre quand je rentre le premier f(x)=(-2x²+7x-8)/(x-2) en rentrant dans la calculatrice j'obtiens une courbe différente de la deuxième courbe du 2e f(x): -2x+11+(14/x-2) c'est normal ?
Merci d'avance.
C'est -8 dans l'énoncé et pas -9, désolé faute de frappe. D'accord je vais reprendre tout ça demain, merci pour votre aide !
Bonjour !
En faisant d'autres calculs, j'obtiens
a=-2
b=3
c=-8
Mais la courbe est toujours différente de f(x)=(-2x²+7x-8)/(x-2)...
Je ne comprends pas où je me trompe...
Pouvez-vous m'orienter ? Mercii d'avance!
donc tu as certainement fais encore une erreur ...
par identification peux-tu me donner ce que tu obtiens :
1/ calcul exact de ax + b + c/(x - 2) =... (sous forme de fraction et avec des parenthèses correctes et nécessaires)
2/ écriture du système propre :
ax+b+(c/(x-2))=((ax+b)(x-2)+c)/(x-2)
On obtient en développant : (ax²-2ax+bx-2b+c)/( x-2).
Par identification avec f(x) : (-2x² +7x-8)/(x-2)
a=-2
-2ax+bx-2b=7x
x(-2a+b)-2b=7x
x(4+b)-2b=7x
4x+bx-2b =7x
bx-2b =3x
b(x-2)=3x
b=(3x)/(x-2)
Soit b=3
Et c=-8
J'espère que cette fois ci c'est bon, merci d'avance !
ax+b+(c/(x-2))=((ax+b)(x-2)+c)/(x-2) = (ax²-2ax+bx-2b+c)/( x-2) = ... il faut factoriser par x
Par identification des coefficients avec f(x) : (-2x² +7x-8)/(x-2) :
je veux voir trois égalités avec uniquement les coefficients !! ... puis ensuite tu résous ce système ...
Alors, ax+b+(c/(x-2))=((ax+b)(x-2)+c)/(x-2)
On obtient en développant : (ax²-2ax+bx-2b+c)/( x-2), on factorise par x et on obtient : (x(ax-2a+b)-2b+c)/ (x-2)
C'est ça ?
Merciii
Ou alors on factorise dès le départ par x, avec, ax+b+(c/(x-2))=((ax+b)(x-2)+c)/(x-2)
Soit en factorisant par x : (x(a+(b/x))(1-(2/x))+c)/x-2
C'est bon j'ai trouvé ! Je reprends depuis le départ ;
On a f(x)=(-2x²+7x-8)/(x-2)
Notre but est de trouver a, b et c tel que f(x)=ax+b+(c/(x-2))
On réduit au même dénominateur, soit (ax(x-2)+b(x-2)+c)/(x-2) en développant on obtient : (ax²-2ax+bx-2b+c)/(x-2) puis on compare les 2 expressions de f(x), les dénominateurs sont les mêmes, on identifie les numerateurs.
-2x²+7x-8=Ax+b+c, on en déduit que a=-2, puis 2a+b=7, on obtient alors b=7-4 b=3
et 2b+c=8, on obtient alors c=-8+6 soit C=-2
Les courbes sont identiques ce qui prouve (je pense et j'espère) qu'on a réussi à déterminer les réels a,b et c
Mercii beaucoup pour votre aide !
Bonsoir, alors j'ai continué l'exercice :
Voici ce que j'ai trouvé :
4)[f(x)-(ax+b)]=((-2x²+7x-8)-(-2x+3)(x-2))/(x-2), avec ceci on obtient : (-2x²+7x-8+2x²-7x+6)/(x-2), on obtient alors -2/(x-2).
Avant de continuer j'aimerai savoir ce que vous pensez de ce résultat car je le trouve bizarre, du fait d'avoir -2/ et on obtiendrai donc lim f(x) dans tous les cas 0 ...
Merci d'avance !
Bonsoir,
En l'absence de carpediem, je me permets;
c'est bon ton résultat sauf que tu peux l'obtenir plus facilement.
f(x) - (ax +b) = c/(x - 2) = .....
=-2/(x-2) merci
Du coup que ce soit quand x+ ou - l'infini, lim [f(x) - (ax +b)]0
On peut donc en déduire que nous avons une asymptote horizontale d'équation y=0.
5) y=Ax+b forme sur le graphique une asymptote oblique d'équation -2x+3 par rapport à la fonction f.
6) je n'ai pas bien compris comment est ce qu'il faut faire pour calculer f'(x)...
Mercii beaucoup pour votre aide !
Pour la 4), dire que y = 0 est asymptote horizontale , ça signifie que lim en + l'infini de f(x) =0, ce qui n'est pas le cas
Pour la 4), dire que y = 0 est asymptote horizontale , ça signifie que lim en + l'infini ou en - l'infini de f(x) =0, ce qui n'est pas le cas
Quand lim en + l'infini (respectivement en - l'infini)de [ f(x) - (ax +b)] = 0 , on dit que la droite d'équation y = ax + b est une asymptote oblique de la courbe en + l'infini (respectivement en - l'infini).
ça signifie graphiquement que la courbe représentative de la fonction est très proche de la droite y =ax + b pour x très grand (respectivement très petit).
Pour la 5) , il faut dire si la courbe représentative de la fonction est au-dessus ou en dessous de la droite D, donc pour cela il faut étudier le signe de ........
Bonjour, je viens de rentrer de cours.
Alors du coup si j'ai bien compris pour la question 4) nous avons une asymptote oblique, d'équation y = ax + b de la courbe en + l'infini et - l'infini c'est ça ?
Mercii
D'accord mercii
4) nous avons une asymptote oblique, d'équation y = -2x + 3 de la courbe en + l'infini et - l'infini
Pour la 5) , mais non.
si la courbe est au-dessus de la droite D , on a: ...... > ........
Remplace les petits points par ce qu'il faut
Alors, on observe que la droite D coupe en 2 la courbe représentative de f.
Pas sûr que ce soit ce qui est demandé ...
Merci encore pour votre aide !
si la courbe est au-dessus de la droite D , on a: f(x)>D ?
Mercii beaucoup
C'est mal rédigé mais l'idée est bonne.
A quoi est égal f(x) ? Et quelle est l'équation de la droite?
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