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Exercice ln et a^b=b^a

Posté par
mathematiciens 11-02-12 à 12:13

Bonjour, voici un exercice de maths que j'ai à faire et j'ai quelques difficultés.

Voilà l'énoncé :

On se propose de rechercher les entiers a et b non nuls tels que : ab = ba avec a < b.

1) Démontrer que ab = ba lna/a = lnb/b.
2) Par l'étude de la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x) = lnx/x, montrer que les seules valeurs possibles de a sont 1 et 2. Conclure.
3) Comparer 100 000100 001 et 100 001100 000.

La première question, je ne vois vraiment pas comment démontrer cela.
La question 2, j'ai calculer f'(x)=(1-lnx)/x² et après je ne vois pas quoi faire pour trouver les valeurs de a.
Et la question 3, je ne vois

Posté par
dhaltere : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 15:06

par définition des puissances de réels
a>0, b\in\mathbb R^* : a^b=e^{b\ln(a)}

Pour a>0, b>0 :

a^b=b^a\Leftrightarrow \\ e^{b\ln(a)}=e^{a\ln(b)}\Leftrightarrow \\ b\ln(a)=a\ln(b) \Leftrightarrow \\ \frac {\ln(a)}a=\frac {\ln(b)}b

Posté par
mathematiciensre : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 15:45

Effectivement, je n'aurais jamais pensé à utiliser l'exponentielle pour démontrer cette égalité !

Pour la question 2, que dois-je faire précisément ? Est-ce que ma dérivé est au moins correct ?

Posté par
dhaltere : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 15:55

ta dérivée est correcte

mais si déjà en voyant des a^b, des \ln(a), tu ne penses pas à la définition a^b=e^{b\ln(a)}, j'attends avec impatience de voir à quoi tu vas penser pour répondre à la question posée.

Posté par
mathematiciensre : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 17:01

Ben pour moi, étudier une fonction c'est chercher la dérivée, ensuite faire un tableau de variation et éventuellement chercher les limites mais je ne vois pas en quoi l'étude de la fonction f(x) me permettrais de trouver les valeurs de a.

Posté par
dhaltere : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 18:28

ah, acquérir une technique, et élargir le champ de sa pensée... Deux domaines très éloignés l'un de l'autre.

Question posée : peut-on trouver les solutions au problème suivant :
trouver les entiers naturels a et b tels que a^b=b^a

eh oui, par exemple
2^3=2*2*2=8 \\ 3^2=3*3=9

donc (2;3) n'est pas un couple solution de l'équation donnée.

une solution évidente, que connaît tout élève de quatrième, est 2^4=16=4^2
mais y en a-t-il d'autres ? peut-on les calculer ?

répondre à cette question en restant dans le strict cadre des entiers naturels est excessivement compliqué.

mais si on élargit le champ de sa pensée, on peut trouver des raisonnements qui facilitent la résolution du problème.

D'où l'idée de chercher d'abord des solutions à l'équation dans un ensemble plus large que le seul ensemble des entiers naturels.

et l'expression a^b a aussi une interprétation dans l'ensemble des réels.

on définit pour a>0, b\in\mthbb R la quantité a^b par l'expression
a^b=e^{b\ln(a)}*

ce qui a un sens, puisque on sait que e^{xy}={(e^y)}^x, donc e^b\ln(a)={(e^{\ln(a)})^b

et finalement e^{\ln(a)}=a

et de plus, on montre que si a et b sont des entiers naturels, alors

e^{b\ln(a)}=\underbrace{a\times\cdots\times a}_{\text{ b fois}}

Ce qui fait qu'en étudiant les solutions dans le cadre des réels, on se dote d'outils et de connaissances pouvant aider à la résolution de l'équation dans le cadre des seuls entiers naturels.

donc maintenant, étudions l'équation x^y=y^x, où (x;y) sont deux réels strictement positifs

et on passe à la définition
^{y\ln(x)}=e^{x\ln(y)}

la fonction exponentielle étant strictement positive, cela impose que
y\ln(x)=x\ln(y)

et puisque x et y ne sont pas nuls, nous avons finalement

\frac{\ln(x)}x=\frac{\ln(y)}y

d'où maintenant l'idée de se servir de l'étude de la fonction f(x)=\frac{\ln(x)}x pour avancer dans la résolution de cette équation, car on cherche des solutions à
f(x)=f(y)

donc en fait, on cherche les couples de réels qui ont même image par cette fonction f

Etude de la fonction (la seule partie que tu sois capable de faire tout seul)
définie pour x>0
sur cet intervalle, continue, dérivable, de fonction dérivée
f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x²}
l'étude de son signe et de ses limites est à ta portée, et le tableau de variation nous donne

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & 1 & e & & +\infty \\\hline f'(x) & || & + & 0 & - & \\\hline & & & \frac1e & & \\ f(x) & & \overwrite{0}{\nearrow} & & \searrow & \\ & -\infty & & & & 0 \\\hline \end{array}

et on la trace :
Exercice ln et a^b=b^a

Maintenant, trouver deux réels x et y tels que f(x)=f(y), avec x<y, graphiquement cela revient à trouver deux points du graphe d'abscisses x et y qui ont même ordonnée f(x)=f(y) :
Exercice ln et a^b=b^a


tu vois maintenant, et il est aisé de le montrer avec rigueur, qu'il y a une infinité de solutions réelles, mais qu'il faut prendre x\in]1;e[ et alors y\in]e;+\infty[

Revenons à nos entiers : non seulement il faut prendre x\in]1;e[, mais en plus x doit être entier ? quels sont les entiers entre 1 et e ? il n'y en a qu'un seul : x=2

mais alors y sera-t-il lui aussi entier ? oui car alors f(4)=\frac{4}{\ln(4)}=\frac{4}{2\ln(2)}=\frac{2}{\ln(2)}=f(2)

et en conclusion, le couple (2,4) est bien la seule solution à l'équation a^b=b^a,\quad a<b dans l'ensemble des entiers naturels
Exercice ln et a^b=b^a

car 2 est le seul entier dans l'intervalle ]1;e[

Posté par
mathematiciensre : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 18:58

Merci beaucoup pour ton explication plus que complète et effectivement j'ai bien compris maintenant pourquoi on utilise la fonction lnx/x.
Par contre, il y a un petit point que je n'ai pas compris : dans l'énoncé on dit que a peut prendre pour valeurs 1 et 2 or ici tu m'as démontré que 2 est la seule valeur possible pour a dans l'équation à moins que l'intervalle pour a (ou x comme tu l'as appelé) soit [1;e[ et dans ce cas il y a bien deux solutions pour a.
Si a = 1, b=2 donc a < b et 12=21=1 donc c'est aussi une possibilité si on prend l'intervalle [1;e[ non ?

Posté par
dhaltere : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 19:57

honte à toi : 1^2=1*1=1 alors que 2^1=2

tu remarqueras que a^a=a^a, donc évidemment, TOUT couple d'entiers (a;a) est solution (tout comme d'ailleurs tout couple de réels strictement positifs (a;a)), mais ce genre de solutions n'est pas très excitant, tu en conviendras.

c'est pourquoi on impose a<b pour chercher des couples de solutions intéressants.

autre argument : si on choisit de résoudre x^y=y^x et qu'on impose x=1, alors 1=y^1 n'a qu'une seule solution : y=1

graphiquement, quand x=1, toutes les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de l'axe des abscisses (puisque f(1)=0) avec le graphe. Or il n'y a qu'un seul point d'intersection, c'est le point d'abscisse 1

tu vois, il y avait suffisamment d'arguments à ta disposition pour que tu n'affirmes pas bêtement que (1;2) était solution...

Posté par
mathematiciensre : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 20:38

Oups la boulette !

C'est donc impossible alors ce que me demande l'énoncé puisqu'on me dit que a peut prendre la valeur de 1 or comme tu l'as dit il n'y a pas de solution à part b = 1 mais a < b.
Par contre a = 2 et b = 4 fonctionne parfaitement et il me reste plus qu'à faire le graphique au propre pour démontrer cette solution.

Pour la question 3 quand on me demande de comparer les 2 nombres, je suppose qu'il y a un lien avec la démonstration de l'équivalence avec la fonction ln de la question 1 non ?

Posté par
dhaltere : Exercice ln et a^b=b^a 11-02-12 à 23:38

je suppose que
tu es un petit futé, toi.

On a étudié l'équation a^b=b^a

on cherche maintenant à comparer, ça sent l'inégalité

100\,000^{100\,001}=(10^5)^{(1+10^5)}

100\,001^{100\,000}=(1+10^5)^{(10^5)}


soient a>e et b>e

a^b>b^a \Leftrightarrow \\ e^{b\ln(a)}>e^{a\ln(b)} \Leftrightarrow \\ b\ln(a)>a\ln(b) \Leftrightarrow \\ \frac{\ln(a)}a>\frac{\ln(b)}b \Leftrightarrow \\ f(a)>f(b)

or pour les valeurs a=10^5 et b=1+a impliquées dans la question posée ( et c'est pour cela que j'ai posé a>e et b>e), la fonction f est décroissante, donc

f(a)>f(b) \Leftrightarrow \\ b>a

la conclusion est que {(10^5)}^{(1+10^5)}>{(1+10^5)}^{(10^5)}

En Terminale, c'est tout ce que tu peux facilement en dire.

Le rapport des deux quantités permet d'évaluer l'ordre de grandeur de cette comparaison
\frac{(1+a)^a}{a^{(1+a)}}=\frac1a{(1+\frac1a)}^a

or tu verras peut-être plus tard que \lim_{a\to+\infty}(1+\frac1a)^a=e

donc \frac{(1+a)^a}{a^{(1+a)}}\approx e\frac1a

\Large \frac{{(1+10^5)}^{(10^5)}}{{(10^5)}^{(1+10^5)}}\approx 10^{-5}e


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