Bonjour, voici un exercice de maths que j'ai à faire et j'ai quelques difficultés.
Voilà l'énoncé :
On se propose de rechercher les entiers a et b non nuls tels que : ab = ba avec a < b.
1) Démontrer que ab = ba lna/a = lnb/b.
2) Par l'étude de la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x) = lnx/x, montrer que les seules valeurs possibles de a sont 1 et 2. Conclure.
3) Comparer 100 000100 001 et 100 001100 000.
La première question, je ne vois vraiment pas comment démontrer cela.
La question 2, j'ai calculer f'(x)=(1-lnx)/x² et après je ne vois pas quoi faire pour trouver les valeurs de a.
Et la question 3, je ne vois
Effectivement, je n'aurais jamais pensé à utiliser l'exponentielle pour démontrer cette égalité !
Pour la question 2, que dois-je faire précisément ? Est-ce que ma dérivé est au moins correct ?
ta dérivée est correcte
mais si déjà en voyant des , des , tu ne penses pas à la définition , j'attends avec impatience de voir à quoi tu vas penser pour répondre à la question posée.
Ben pour moi, étudier une fonction c'est chercher la dérivée, ensuite faire un tableau de variation et éventuellement chercher les limites mais je ne vois pas en quoi l'étude de la fonction f(x) me permettrais de trouver les valeurs de a.
ah, acquérir une technique, et élargir le champ de sa pensée... Deux domaines très éloignés l'un de l'autre.
Question posée : peut-on trouver les solutions au problème suivant :
trouver les entiers naturels a et b tels que
eh oui, par exemple
donc (2;3) n'est pas un couple solution de l'équation donnée.
une solution évidente, que connaît tout élève de quatrième, est
mais y en a-t-il d'autres ? peut-on les calculer ?
répondre à cette question en restant dans le strict cadre des entiers naturels est excessivement compliqué.
mais si on élargit le champ de sa pensée, on peut trouver des raisonnements qui facilitent la résolution du problème.
D'où l'idée de chercher d'abord des solutions à l'équation dans un ensemble plus large que le seul ensemble des entiers naturels.
et l'expression a aussi une interprétation dans l'ensemble des réels.
on définit pour la quantité par l'expression
*
ce qui a un sens, puisque on sait que , donc
et finalement
et de plus, on montre que si a et b sont des entiers naturels, alors
Ce qui fait qu'en étudiant les solutions dans le cadre des réels, on se dote d'outils et de connaissances pouvant aider à la résolution de l'équation dans le cadre des seuls entiers naturels.
donc maintenant, étudions l'équation , où sont deux réels strictement positifs
et on passe à la définition
la fonction exponentielle étant strictement positive, cela impose que
et puisque x et y ne sont pas nuls, nous avons finalement
d'où maintenant l'idée de se servir de l'étude de la fonction pour avancer dans la résolution de cette équation, car on cherche des solutions à
donc en fait, on cherche les couples de réels qui ont même image par cette fonction
Etude de la fonction (la seule partie que tu sois capable de faire tout seul)
définie pour
sur cet intervalle, continue, dérivable, de fonction dérivée
l'étude de son signe et de ses limites est à ta portée, et le tableau de variation nous donne
et on la trace :
Maintenant, trouver deux réels x et y tels que f(x)=f(y), avec , graphiquement cela revient à trouver deux points du graphe d'abscisses x et y qui ont même ordonnée f(x)=f(y) :
tu vois maintenant, et il est aisé de le montrer avec rigueur, qu'il y a une infinité de solutions réelles, mais qu'il faut prendre et alors
Revenons à nos entiers : non seulement il faut prendre , mais en plus doit être entier ? quels sont les entiers entre 1 et ? il n'y en a qu'un seul :
mais alors sera-t-il lui aussi entier ? oui car alors
et en conclusion, le couple (2,4) est bien la seule solution à l'équation dans l'ensemble des entiers naturels
car 2 est le seul entier dans l'intervalle
Merci beaucoup pour ton explication plus que complète et effectivement j'ai bien compris maintenant pourquoi on utilise la fonction lnx/x.
Par contre, il y a un petit point que je n'ai pas compris : dans l'énoncé on dit que a peut prendre pour valeurs 1 et 2 or ici tu m'as démontré que 2 est la seule valeur possible pour a dans l'équation à moins que l'intervalle pour a (ou x comme tu l'as appelé) soit [1;e[ et dans ce cas il y a bien deux solutions pour a.
Si a = 1, b=2 donc a < b et 12=21=1 donc c'est aussi une possibilité si on prend l'intervalle [1;e[ non ?
honte à toi : alors que
tu remarqueras que , donc évidemment, TOUT couple d'entiers est solution (tout comme d'ailleurs tout couple de réels strictement positifs (a;a)), mais ce genre de solutions n'est pas très excitant, tu en conviendras.
c'est pourquoi on impose pour chercher des couples de solutions intéressants.
autre argument : si on choisit de résoudre et qu'on impose x=1, alors n'a qu'une seule solution : y=1
graphiquement, quand x=1, toutes les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de l'axe des abscisses (puisque f(1)=0) avec le graphe. Or il n'y a qu'un seul point d'intersection, c'est le point d'abscisse 1
tu vois, il y avait suffisamment d'arguments à ta disposition pour que tu n'affirmes pas bêtement que (1;2) était solution...
Oups la boulette !
C'est donc impossible alors ce que me demande l'énoncé puisqu'on me dit que a peut prendre la valeur de 1 or comme tu l'as dit il n'y a pas de solution à part b = 1 mais a < b.
Par contre a = 2 et b = 4 fonctionne parfaitement et il me reste plus qu'à faire le graphique au propre pour démontrer cette solution.
Pour la question 3 quand on me demande de comparer les 2 nombres, je suppose qu'il y a un lien avec la démonstration de l'équivalence avec la fonction ln de la question 1 non ?
je suppose que
tu es un petit futé, toi.
On a étudié l'équation
on cherche maintenant à comparer, ça sent l'inégalité
soient a>e et b>e
or pour les valeurs et impliquées dans la question posée ( et c'est pour cela que j'ai posé a>e et b>e), la fonction est décroissante, donc
la conclusion est que
En Terminale, c'est tout ce que tu peux facilement en dire.
Le rapport des deux quantités permet d'évaluer l'ordre de grandeur de cette comparaison
or tu verras peut-être plus tard que
donc
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