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Exercice _logarithme

Posté par
FerreSucre 06-02-21 à 12:15

Bonjour , on viens de terminer le chapitre des logarithmes et on a bientôt une évaluation, je me demandais si vous pourriez me donner un exercice assez complet dessus et un peu dur ^^ pour que je m?entraîne (surtout au niveau de la rédaction).

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Exercice 06-02-21 à 12:32

Bonjour
regarde un peu l'exo 4 A de Sujet 0 du Bac Général Spécialité Mathématiques et son corrigé
C'est un sujet qui aurait pu être proposé cette année
et il n'est pas encore corrigé, donc tu ne seras pas tenté

Enoncé mis à disposition par Hekla
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé

la courbe représentative C_f d?une fonction f définie et dérivable sur ]0 ;+\infty[;
la tangente T_A à la courbe C_f au point A de coordonnées (1/e; e);
la tangente T_B à la courbe C_f au point B de coordonnées (1; 2).

La droite T_A est parallèle à l?axe des abscisses. La droite T_B coupe l?axe des abscisses au point de coordonnées (3; 0) et l?axe des ordonnées au point de coordonnées (0; 3).

Exercice

On note f' la fonction dérivée de f.

PARTIE I.
Déterminer graphiquement les valeurs de f'(1/e) et de f'(1)
En déduire une équation de la droite T_B

.PARTIEII
On suppose maintenant que la fonction f est définie sur ]0 ;+\infty[ par :f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}.
Par le calcul, montrer que la courbe C_f passe par les points A et B et qu?elle coupe l?axe des abscisses en un point unique que l?on précisera.

Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, et la limite de f(x) quand x tend vers +\infty.
Montrer que, pour tout x\in]0 ;+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}.
Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ;+\infty[.
On note f'' la fonction dérivée seconde de f On admet que, pour tout x \in ]0 ;+\infty[ f''=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}.
Déterminer le plus grand intervalle sur lequel f est convexe.

Posté par
FerreSucrere : Exercice 06-02-21 à 14:12

Exercice 4 (début 13 h 35) :

Partie I

1. Graphiquement on a : f'(\frac{1}{e}) = 0, f'(1) = -1

2. Donc T_b : y = f'(1)(x-1)+f(1)
La tangente passe par B(1,2), donc f(1) = 2, et f'(1) = -1, on a :

T_b = -x + 1 + 2, T_b = -x + 3

Partie II

1.A( \frac{1}{e}, e) , \\ \\ f(\frac{1}{e}) = \dfrac{2+ln(1/e)}{1/e} = (2-ln(e))*e = 1*e = e

B(1,2), f(1) = \dfrac{2+ln(1)}{1} = 2

Donc les points A et B appartiennent à C_f.

2. En 0+

f(x) = \dfrac{2+ln(x)}{x}

\lim_{x \to 0^{+}} 2+ln(x) = -\infty

Donc :

\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{2+lnx}{x} = -\infty

En +infini :

f(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{lnx}{x}

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0^{+}

Et par croissance comparé :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{lnx}{x} = 0^{+}

Donc :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} +\dfrac{ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^{+}

3. f est dérivable en tant que somme de produit de fonctions derivables sur \R_{+}^{*} :

f'(x) = \dfrac{x^{-1}*x- 1*(2+lnx)}{x²}

f'(x) = \dfrac{1-2-lnx}{x²} = \dfrac{-1-lnx}{x²}, \forall{x} \in \R_{+}^{*}

4. On étudie donc le signe de la dérivé, x² > 0 , \forall{x} \in \R_{+}^{*}, donc f' est de même signe que -1-lnx

-1-lnx \geq 0 \Leftrightarrow -lnx \geq 1 \Leftrightarrow x \leq e^{-1} la fonction exponentielle est croissante et conserve l'ordre.

On a donc :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & e^{-1} & & +\infty & \\ {f'} & & + & 0 & - & & \\ {f} & -\infty & \nearrow & e & \searrow & 0 & \end{array}

5. f''(x) = \dfrac{1+2lnx}{x^3}, \forall{x} \in \R_{+}^{*}

x^3 > 0, \forall{x} \in \R_{+}^{*}

Donc f'' est de même signe que 1+2lnx , donc :

1+2lnx \geq 0 \Leftrightarrow lnx \geq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \geq \sqrt{e}

Le plus grand intervalle ou f est convexe est [\sqrt{e}, +\infty[


Est-ce correcte ? ^^ merci

Posté par
FerreSucrere : Exercice 06-02-21 à 14:22

Oups la coquille à la fin, c'est :

1+ 2lnx \geq 0 \Leftrightarrow lnx \geq -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{\sqrt{e}}

Donc le plus grand intervalle ou f est convexe est [\dfrac{1}{\sqrt{e}}, +\infty[

Posté par
FerreSucrere : Exercice 06-02-21 à 14:24

Je me disais bien que y'avait un petit problème par rapport au graphique avec \sqrt{e} mdr

Posté par
malou Webmasterre : Exercice 06-02-21 à 14:46

Plus haut tu as parlé de rédaction

FerreSucre @ 06-02-2021 à 14:12

Exercice 4 (début 13 h 35) :

Partie I

1. Graphiquement on a : f'(\frac{1}{e}) = 0, f'(1) = -1 ces deux résultats que tu affirmes doivent être justifiés

2. Donc T_b : y = f'(1)(x-1)+f(1)
La tangente passe par B(1,2), donc f(1) = 2, et f'(1) = -1, on a :

T_b = -x + 1 + 2, T_b = -x + 3 une droite n'est pas égale à une expression en x, donc ce que tu as écrit n'est pas une équation de T_b

Partie II

1.A( \frac{1}{e}, e) , \\ \\ f(\frac{1}{e}) = \dfrac{2+ln(1/e)}{1/e} = (2-ln(e))*e = 1*e = e

B(1,2), f(1) = \dfrac{2+ln(1)}{1} = 2

Donc les points A et B appartiennent à C_f.
tu as oublié une partie de la question (intersection avec l'axe des abscisses)

2. En 0+ Certains enseignants ne veulent pas de cette notation, sache le

f(x) = \dfrac{2+ln(x)}{x}

\lim_{x \to 0^{+}} 2+ln(x) = -\infty

Donc :

\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{2+lnx}{x} = -\infty

En +infini :

f(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{lnx}{x}

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0^{+}

Et par croissance comparé :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{lnx}{x} = 0^{+}

Donc :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} +\dfrac{ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^{+}

3. f est dérivable en tant que somme de produit de fonctions derivables sur \R_{+}^{*} : somme de produits ?

f'(x) = \dfrac{x^{-1}*x- 1*(2+lnx)}{x²}

f'(x) = \dfrac{1-2-lnx}{x²} = \dfrac{-1-lnx}{x²}, \forall{x} \in \R_{+}^{*} le quantificateur n'arrive pas en fin de ligne mais doit être placé en début de ligne

4. On étudie donc le signe de la dérivée, x² > 0 , \forall{x} \in \R_{+}^{*}, donc f? est de même signe que -1-lnx

-1-lnx \geq 0 \Leftrightarrow -lnx \geq 1 \Leftrightarrow x \leq e^{-1} la fonction exponentielle est croissante et conserve l?ordre.

On a donc :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & e^{-1} & & +\infty & \\ {f?} & & + & 0 & - & & \\ {f} & -\infty & \nearrow & e & \searrow & 0 & \end{array}

5. f''(x) = \dfrac{1+2lnx}{x^3}, \forall{x} \in \R_{+}^{*}

x^3 > 0, \forall{x} \in \R_{+}^{*}

Donc f''(x) est de même signe que 1+2lnx , donc :

1+2lnx \geq 0 \Leftrightarrow lnx \geq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \geq \sqrt{e}

Le plus grand intervalle ou f est convexe est [\sqrt{e}, +\infty[ j'ai vu que tu avais rectifié en dessous


Est-ce correcte ? ^^ merci


voilà ce que j'ai vu

Posté par
heklare : Exercice 06-02-21 à 15:00

Bonjour

Le début du texte (envoyé plus haut)

Posté par
malou Webmasterre : Exercice 06-02-21 à 15:10

Bonjour hekla
j'ai tout le code de cet exercice, je peux le récupérer dans la fiche si on veut

Posté par
heklare : Exercice 06-02-21 à 15:15


la fin du texte  (envoyé plus haut)
malou edit > merci Hekla

Posté par
heklare : Exercice 06-02-21 à 15:18

Bonjour malou
Je l'avais aussi en .tex mais manifestement ce n'est pas le même encodage

les « prime »  et les moins ne passent pas.
Je me posai la question aussi  si le texte était sur le site devait-on le recopier  ou mettre un lien  ?

Posté par
malou Webmasterre : Exercice 06-02-21 à 15:22

les prime et les - sont de vrais problèmes en copier-coller
tu as vu, j'ai édité mon message au dessus et les prime de ferresucre qui étaient Ok au début ont été remplacés par des ?

ben disons que le fait d'avoir le sujet ici, c'est mieux pour suivre l'exo
je vais aller d'ailleurs le coller plus haut, c'est plus agréable

Posté par
heklare : Exercice _logarithme 06-02-21 à 15:31

Merci   C'est d'ailleurs pour cela que je l'avais  mis Passer d'une page à une autre  finit par être lassant.

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 15:57

Oui premier soucis je voulais mettre T_b : y = .... et non juste T_b légère oublie.

Faut justifier pour une question « graphiquement » ?

Pour la 3. C'est plus « en tant que produit de fct derivable sur R+* dsl »

Faut également que j'inverse mes quantificateur.

Merci ducoup, et effectivement j'ai oublié une partie d'une question pour le croisement de (Ox).
Mise à part ça dans l'ensemble c'est correct ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 16:01

Oui par rapport d'ailleurs a la question 1 partie 1. Pour justifier c'est compliqué faut dire que la tangente coupe l'axe des abscisse en C (..., 0), et qu'elle passe par (1,...) donc [f(b)-f(a)]/(b-a) ... dans le genre ?

Posté par
malou Webmasterre : Exercice _logarithme 06-02-21 à 16:20

FerreSucre @ 06-02-2021 à 16:01

Oui par rapport d'ailleurs a la question 1 partie 1. Pour justifier c'est compliqué faut dire que la tangente coupe l'axe des abscisse en C (..., 0), et qu'elle passe par (1,...) donc [f(b)-f(a)]/(b-a) ... dans le genre ?

oui, tout à fait

quand on demande "graphiquement", là tu dois effectivement expliquer en tel point, la tangente est parallèle à, donc f'...vaut 0
la tangente passe par ...donc coefficient directeur...donc f'...

par contre ta justification de f est dérivable, ça ne va toujours pas

Posté par
heklare : Exercice _logarithme 06-02-21 à 16:27

Oui il faut aussi justifier  La tangente en 1/e  à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses  Son coefficient directeur est nul   d'où f(1/e)=0

La tangente en B passe par   d'où un coefficient directeur de -1  d'où f'(1)=-1


Une petite remarque \ln s'écrit \ln

Posté par
heklare : Exercice _logarithme 06-02-21 à 16:28

lire f'(1/e)

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 16:45

D'accord hekla, malou, je sais pas notre prof nous a donner ça comme « propriété », que par exemple : xlnx est derivable sur r+* en tant que produit de fonctions derivables sur r+* , comment justifier autrement ?

Posté par
malou Webmasterre : Exercice _logarithme 06-02-21 à 16:49

certes mais ce que tu me dis est valable pour un produit de fonctions dérivables
mais f(x) n'est pas un produit...
f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}

Posté par
heklare : Exercice _logarithme 06-02-21 à 16:52

Vous avez 2+\ln x  et  x   ou \dfrac{1}{x}

Dans le premier cas   quotient de fonctions dérivables  sur l'intervalle et sur lequel le dénominateur n'est jamais nul

Dans le second cas  produit de fonctions dérivables sur \R^+_*

Posté par
malou Webmasterre : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:02

Avec l'écriture proposée par l'énoncé, personnellement je pars sur quotient

sinon, il va devoir faire la transformation d'écriture pour parler de produit, et de toutes façons, il devra justifier la dérivabilité de 1/x comme quotient ou inverse de ...

Posté par
heklare : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:17

On peut penser que la dérivabilité de x\mapsto \dfrac{1}{x}  sur \R^+_* est acquise c'est quand même une fonction usuelle

Le plus simple ici est bien de considérer la fonction comme quotient

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:29

Oui en soit on prend 2+lnx qui est derivable sur R+* et on multiplie par 1/x qui est derivable sur R+* non ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:30

Ducoup c'est accepté « en tant que produit de fonctions derivables sur R+* » ?

Posté par
malou Webmasterre : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:39

je corrige ta copie et si tu ne prends pas la peine d'écrire que

f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}=(2+\ln (x))\times \dfrac 1 x
eh bien, je ne te valide pas ta démonstration personnellement

Posté par
heklare : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:47

Absolument

Même  dans les deux cas il serait bien de préciser les fonctions dérivables concernées

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:48

Ok donc pour que j'utilise cette propriété il faut que je fasse apparaître clairement ce produit ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:49

D'accord hekla je ferai ça pour la prochaine fois

Posté par
malou Webmasterre : Exercice _logarithme 06-02-21 à 17:56

FerreSucre @ 06-02-2021 à 17:48

Ok donc pour que j'utilise cette propriété il faut que je fasse apparaître clairement ce produit ?


ah ben oui !!

mais je préfère ne pas le faire, et partir sur l'idée du quotient
mais à cahque fois que tu parles de quotient, fais bien apparaître "quotient de deux fonctions dérivables sur ...et dont le dénominateur ne s'annule pas sur ..."

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 18:26

Ok je verrai lequel choisir selon la fonction merci en tout cas !

Posté par
malou Webmasterre : Exercice _logarithme 06-02-21 à 18:27

Je t'en prie, bonne soirée

Posté par
heklare : Exercice _logarithme 06-02-21 à 18:47

Maintenant que l'exercice est traité  il est bien corrigé sur le site de l'APM

Posté par
malou Webmasterre : Exercice _logarithme 06-02-21 à 18:55

maintenant on peut effectivement lui dire

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 06-02-21 à 21:19

Je serai pas allé voir de toute façon xD ^^

Posté par
malou Webmasterre : Exercice _logarithme 06-02-21 à 21:28

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 17-02-21 à 13:04

Bon bah mdr cet exercice est tombé dans notre contrôle , je retourne la feuille en pleine eval et je vois le graphique je me dis bah attends on l'a pas déjà vue cette fonction et là je me rappelle xD.
Bonne journée

Posté par
heklare : Exercice _logarithme 17-02-21 à 13:24

Vous avez donc réussi cette évaluation.

Posté par
FerreSucrere : Exercice _logarithme 17-02-21 à 13:53

Oui fin comme d'habitude ^^, peut-être que y'a moyen d'aller toucher le 20 cette fois ci, mais faut pas que j'ai en dessous de 19 sinon ma moyenne baisse... mais normalement j'ai aucune erreur pour le moment à vue d'oeil en physique aussi (parce que j'avais 2 h d'eval de physique juste avant)


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