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Niveau seconde
Exercice n° 3
Posté par princesyb
Exercice1
***Supprimé***
EXERCICE 2
***Supprimé***
EXERCICE 3
1)Montrer pour deux réels positifs a et b on
(a+b=1) entraîne (a^2+b^2>=1\2 et ab<=1\4
2)Montrer que pour deux réels positifs a et b si a+b=1 alors [(a+1/a)^2+(b+1/b)^2 >=25/2)]
EXERCICE 4
***Supprimé***
Nb
Vous n'êtes pas obligé de répondre tout en même temps faisais ce que vous pouvez progressivement
*** message dupliqué ***
bonsoir : )
Tu peux aussi montrer ce que tu as essayé de faire.
1) On a : a + b = 1
a² + b² - 1/2 peut s'écrire en fonction de b seulement ou a seulement.
Choisis une et étudie le signe de a² + b² - 1/2.
Même raisonnement pour le signe de ab - 1/4.
Merci j'ai réussis à le démontrer mais la dernière démonstration est difficile,on utilise quel propriété
Ok.
Maintenant reduis au même dénominateur 1/a^2 + 1/b^2 et sers toi des inégalités précédentes pour avoir 1/a^2 + 1/b^2 >= ...
J'est réduis au même dénominateur et j'ai obtenue:
a^2+b^2+a^2+b^2÷b2×a^2=(a-b)^2-2ab+b^2+a^2÷a^2×b^2
Mais en suite que peut on faire pour la suite
Il manque des parenthèses.
Lorsqu'on écrit des fractions il faut mettre des parenthèses pour regrouper les termes du numérateur et du dénominateur.
Un quotient s'écrit (numérateur)/(dénominateur).
Des parenthèses délimitent le numérateur et d'autres parenthèses délimitent le dénominateur.
a + b / c + d se traduit par
Si on souhaite que le numérateur soit a + b il faut mettre des parenthèses :
(a + b) / c + d se traduit par
Si on souhaite que le dénominateur soit c + d il faut mettre des parenthèses :
a + b / (c + d) se traduit par
Si on souhaite que le numérateur soit a + b et que le dénominateur soit c + d il faut mettre des parenthèses :
(a + b) / (c + d) se traduit par
Les parenthèses délimitent aussi tout ce qui se trouve sous un radical, etc...
On a :
1/a^2 + 1/b^2 = (a^2 + b^2)/(a^2 * b^2) = (a^2 + b^2)/(ab)^2
Et ensuite je t'ai dit de te server des inégalités de la question précédente.
a^2 + b^2 >= 1/2
ab <= 1/4
Avec ces deux inégalités on peut avoir une inégalité vérifiée par (a^2 + b^2)/(ab)^2
On a a^2 + b^2 >= 1/2
d'où en divisant l'inégalité par 1/(ab)^2 qui est strictement positif : (a^2 + b^2) / (ab)^2 >= 1/(2(ab)^2)
On a ab <= 1/4 d'où (ab)^2 <= (1/4)^2 = 1/16 (et non 1/8, ne pas confondre le carré et la multiplication par 2)
d'où 1/(ab)^2 >= 1/(1/16) = 16 (quand on prend l'inverse d'une inégalité alors le sens change).
Ainsi (a^2 + b^2)/(ab)^2 >= 1/2 * 1/(ab)^2 >= 1/2 * 16 = 8
On vient donc de montrer que 1/a^2 + 1/b^2 = (a^2 + b^2)/(ab)^2 >= 8
Si on revient à : (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 = a^2 + b^2 + 4 + 1/a^2 + 1/b^2 qu'obtient-on ?
J'ai compris tout ce que vous avez dit sauf comment on a obtenu à partir de a^2+b^2÷(ab)^2>0 le terme suivant
a^2+b^2÷(ab)^2
1÷(2 (ab)^2)
Et vous avez dit que a^2+b^2÷(ab)^21÷2,où est passé le ab^2 du dénominateur
Et aussi je n'est pas compris a^2+b^2÷(ab)^21÷2*1÷1÷(ab)^21÷2*16=8
C'est la multiplication entre a^2+b^2÷(ab)^21÷2 avec 1÷(ab)^2 qui me pose problème
Note
Si vous êtes fatigué de répondre vous le dite et j'arrête pour qu'on continue une autre fois
Attention tu écris toujours mal les quotients.
Il faut des parenthèses pour regrouper les termes du numérateur et des parenthèses pour regrouper les termes du dénominateur.
princesyb @ 28-05-2016 à 23:00
J'ai compris tout ce que vous avez dit sauf comment on a obtenu à partir de (a^2+b^2)÷(ab)^2>0 le terme suivant
(a^2+b^2)÷(ab)^21÷(2 (ab)^2)
J'ai compris tout ce que vous avez dit sauf comment on a obtenu à partir de (a^2+b^2)÷(ab)^2>0 le terme suivant
(a^2+b^2)÷(ab)^2
1÷(2 (ab)^2)On n'est pas parti de (a^2 + b^2)/(ab)^2 >= 0.
On a vu que 1/a^2 + 1/b^2 = (a^2 + b^2)/(ab)^2
Si on observe un peu le numérateur de cette fraction, on se souvient que dans la première partie on avait montré que :
a^2 + b^2 >= 1/2
A partir de cette inégalité, on divise tout par (ab)^2 (qui est strictement positif) et on obtient :
(a^2 + b^2) / (ab)^2 >= (1/2) / (ab)^2
soit (a^2 + b^2) / (ab)^2 >= 1/(2(ab)^2)
Est-ce que tu comprends ?
Maintenant qu'on est arrivé à :
(a^2 + b^2) / (ab)^2 >= 1/(2(ab)^2)
Si on se concentre sur 1/(2(ab)^2) :
on avait montré dans la première partie que :
ab <= 1/4
d'où en élevant cette inégalité au carré : (ab)^2 <= 1/16
d'où en multipliant par 2 : 2(ab)^2 <= 1/8
d'où en prenant l'inverse : 1/(2(ab)^2) >= 8
On vient de montrer que 1/(2(ab)^2) >= 8
D'où en revenant à l'inégalité précédente : (a^2 + b^2) / (ab)^2 >= 1/(2(ab)^2) >= 8
soit (a^2 + b^2) / (ab)^2 >= 8
Bonsoir en faisant mes calculs je me suis rendu compte que je n'ai pas compris à partir de 2ab^2
1÷8,pourquoi vous avez mis à la suite inférieur ou égale à 8 alors qu'on avez 1÷8
J'ai pourtant clairement écris les opérations faites, tu ne les lis pas ?
Citation :
on avait montré dans la première partie que :
ab <= 1/4
d'où en élevant cette inégalité au carré : (ab)^2 <= 1/16
d'où en multipliant par 2 : 2(ab)^2 <= 1/8
d'où en prenant l'inverse : 1/(2(ab)^2) >= 8
Prends une feuille et fais les opérations en même temps.on avait montré dans la première partie que :
ab <= 1/4
d'où en élevant cette inégalité au carré : (ab)^2 <= 1/16
d'où en multipliant par 2 : 2(ab)^2 <= 1/8
d'où en prenant l'inverse : 1/(2(ab)^2) >= 8
Essayer de faire 3 exercices en même temps ! Tu es certain(e) que se soit la meilleure des façons de progresser ?
Si j'ai compris
comme (a+b)^2-2ab+4 est forcément positif et l'autre 1÷a^2+1÷b^2 est aaussi positif .ensuite je soustrait 25÷2 et on aura en tout les termes supérieur 0 et on transpose le 25÷2 et j'aurai fini
Essayer de faire 3 exercices en même temps ! Tu es certain(e) que se soit la meilleure des façons de progresser ?
Reprendre calment demain tous ces exercices serait plus productit !
Je vais écouté vos conseils j'arrête j'ai terminé tout les exos et les autres je vais demandé à mon prof de m'expliqué s'il accepte
princesyb @ 05-06-2016 à 01:10
Si j'ai compris
comme (a+b)^2-2ab+4 est forcément positif et l'autre 1÷a^2+1÷b^2 est aaussi positif .ensuite je soustrait 25÷2 et on aura en tout les termes supérieur 0 et on transpose le 25÷2 et j'aurai fini
Mais non n'importe quoi.
Si j'ai compris
comme (a+b)^2-2ab+4 est forcément positif et l'autre 1÷a^2+1÷b^2 est aaussi positif .ensuite je soustrait 25÷2 et on aura en tout les termes supérieur 0 et on transpose le 25÷2 et j'aurai fini
Reprends un peu ce qui a été fait.
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 = a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2 + 4
On a démontré une inégalité pour la partie bleue : a^2 + b^2 >= 1/2
On a démontré une inégalité pour la partie verte : 1/a^2 + 1/b^2 >= 8
D'où :
a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2 >= 1/2 + 8
a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2 >= 17/2
D'où :
a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2 + 4 >= 17/2 + 4
a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2 + 4 >= 25/2
Soit
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 >= 25/2