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Niveau troisième
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Exercice non routinier pour 3eme

Posté par
Fermat55
01-04-18 à 22:23

Bonsoir on m'a proposé l'exercice suivant  pour le niveau 3eme:

Soient a et b deux réels tels que :
(1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2
Calculez a²−2b²

Merci de me guider vers la solution

Posté par
kenavo27
re : Exercice non routinier pour 3eme 01-04-18 à 22:27

Bonsoir
Développé (1+2)2

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 02-04-18 à 13:32

C'est (1+racine2)^2006  
Et non (1+racine2)^2

Posté par
Priam
re : Exercice non routinier pour 3eme 02-04-18 à 15:51

Tu pourrais aussi factoriser l'expression  a² - 2b² .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice non routinier pour 3eme 02-04-18 à 18:07

Bonjour,
Si on ne sait rien de plus sur a et b , on ne peut rien trouver.
Par contre, si a et b sont entiers, alors :
(1-2)2006 = a-b2 .

A partir de là, on peut facilement trouver a2-2b2 .

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 02-04-18 à 18:18

On sait que (1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2  
Mais on ne sait pas que
(1-√2)²⁰⁰⁶ =a-b√2
Sachant bien sur que
(a+b√2)(a-b√2)=a²-2b²

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice non routinier pour 3eme 02-04-18 à 18:30

Il manque quelque chose sur a et b :
a+b2 = (a+2) + (b-1) 2 .

Avec = a+2 et = b-1 , on a 2 - 22 a2 - 2b2

Avec a et b entier, si (1+2)2006 = a+b2 alors (1-2)2006 = a-b2 .
Mais pas vraiment du niveau collège...

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 02-04-18 à 18:50

Pourquoi si a et b sont des entiers avec
(1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2  alors
(1-√2)²⁰⁰⁶ =a-b√2

Car dans ce cas le pb est resolu
a²−2b² =1

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 02-04-18 à 18:54

Cet exercice est proposé dans le manuel marocain du 3eme dans la partie : exercices des défis

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice non routinier pour 3eme 03-04-18 à 08:30

Ce serait bien d'avoir l'énoncé intégral, au mot près.
Avec "a et b deux réels" , on peut trouver presque n'importe quoi pour a2-2b2 .
On peut avoir b = 0 et a = (1-2)2006 par exemple.
Plus généralement, b réel quelconque et a = (1-2)2006 - b2 .

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 03-04-18 à 21:46

Je suis revenu a l'énoncé .effectivement
a et b sont  deux entiers naturels
mais je ne vois pas comment montrer que
Si (1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2  alors
(1-√2)²⁰⁰⁶ =a-b√2

Merci Mr Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice non routinier pour 3eme 04-04-18 à 08:47

Bonjour,
Avec une récurrence.
En 3ème, il faudrait formuler ça autrement.

En fait, pour la question posée, il suffit de voir ce qui se passe pour les premières puissances de 1+2 .

Etudier (1+2)n = x + y2 avec x et y entiers.
Pour n = 1 x2 - 2y2 = -1
Pour n = 2 x2 - 2y2 = 1
Pour n = 3 x2 - 2y2 = -1
.....................

On peut démontrer que si (1+2)n = x + y2 alors
(1+2)n+1 = x' + y'2 avec x' = x+2y et y' = x+y .

En déduire ( x')2 - 2(y')2 = - ( x2 - 2y2)

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 04-04-18 à 15:51

Merci beaucoup pour tes réponses
Oui la récurrence est nécessaire
Je ne sais pas pourquoi ils ont posé cet exercice pour le niveau du 3eme .
De toute les façons c'est un plus pour ma culture mathématique.
Encore une fois MERCI

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice non routinier pour 3eme 04-04-18 à 16:26

Pour répondre à la question de l'exercice, ce que j'ai proposé ce matin convient. La récurrence n'est pas nécessaire.
Est-ce envisageable en 3ème dans un exercice "des défis" ?

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 04-04-18 à 23:40

La récurrence que vous avez proposé montre qu'ils existent a et b deux entiers tq  : (1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2  
Mais l'énoncé admet cette existence
Moi je veux voir est ce que

Si (1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2  alors
(1-√2)²⁰⁰⁶ =a-b√2
Pour pouvoir deduire que a²−2b² =1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice non routinier pour 3eme 05-04-18 à 08:50

Bonjour,
Il me semble que le plus simple est d'utiliser la formule du binôme de Newton.

(1-2)2006 est une somme de \begin{pmatrix} 2006\\p \end{pmatrix} (-\sqrt{2})^{p}  =  (-1)^{p}\begin{pmatrix} 2006\\p \end{pmatrix} (\sqrt{2})^{p}

La somme des termes avec p pair donne a entier. La somme des termes avec p impair donne -b2 avec b entier.

Pour (1+2)2006 , on trouve a+b2 avec le même a et le même b .

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 05-04-18 à 22:44

Bonsoir
Ne faut il pas justifier que c'est le mêmea et le même b?
Par contre la démonstration par récurrence de la proposition :
Si (1+√2)ⁿ=a+b√2
alors (1-√2)ⁿ=a-b√2
est facile
Donc je crois que cet exercice ne peut être traité avec le niveau de 3eme et ceux qui l'on mis dans ce niveau ce sont trompés
MERCI BEAUCOUP

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice non routinier pour 3eme 06-04-18 à 07:53

Bonjour,

Citation :
Ne faut il pas justifier que c'est le mêmea et le même b?

Si p = 2k  (-1)^{p}\begin{pmatrix} 2006\\p \end{pmatrix} (\sqrt{2})^{p}  =  \begin{pmatrix} 2006\\p \end{pmatrix} 2^{k} . L'entier a est la somme de ces termes.

Si p = 2k+1  (-1)^{p}\begin{pmatrix} 2006\\p \end{pmatrix} (\sqrt{2})^{p}  =  - \begin{pmatrix} 2006\\p \end{pmatrix} 2^{k}\times \sqrt{2} .
L'entier b est la somme des termes \begin{pmatrix} 2006\\p \end{pmatrix} 2^{k} .

Pour la question défi, voir le message du 4 avril à 8h47 :
Citation :
En fait, pour la question posée, il suffit de voir ce qui se passe pour les premières puissances de 1+2 .

Posté par
Fermat55
re : Exercice non routinier pour 3eme 06-04-18 à 22:30

Oui vous avez justifié et je suis parfaitement convaincu de vos réponses
MERCI BEAUCOUP
Et a une prochaine discussion

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice non routinier pour 3eme 07-04-18 à 08:10

De rien, et à une autre fois sur l'île



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