Bonsoir on m'a proposé l'exercice suivant pour le niveau 3eme:
Soient a et b deux réels tels que :
(1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2
Calculez a²−2b²
Merci de me guider vers la solution
Bonjour,
Si on ne sait rien de plus sur a et b , on ne peut rien trouver.
Par contre, si a et b sont entiers, alors :
(1-2)2006 = a-b
2 .
A partir de là, on peut facilement trouver a2-2b2 .
On sait que (1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2
Mais on ne sait pas que
(1-√2)²⁰⁰⁶ =a-b√2
Sachant bien sur que
(a+b√2)(a-b√2)=a²-2b²
Il manque quelque chose sur a et b :
a+b2 = (a+
2) + (b-1)
2 .
Avec = a+
2 et
= b-1 , on a
2 - 2
2
a2 - 2b2
Avec a et b entier, si (1+2)2006 = a+b
2 alors (1-
2)2006 = a-b
2 .
Mais pas vraiment du niveau collège...
Pourquoi si a et b sont des entiers avec
(1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2 alors
(1-√2)²⁰⁰⁶ =a-b√2
Car dans ce cas le pb est resolu
a²−2b² =1
Ce serait bien d'avoir l'énoncé intégral, au mot près.
Avec "a et b deux réels" , on peut trouver presque n'importe quoi pour a2-2b2 .
On peut avoir b = 0 et a = (1-2)2006 par exemple.
Plus généralement, b réel quelconque et a = (1-2)2006 - b
2 .
Je suis revenu a l'énoncé .effectivement
a et b sont deux entiers naturels
mais je ne vois pas comment montrer que
Si (1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2 alors
(1-√2)²⁰⁰⁶ =a-b√2
Merci Mr Sylvieg
Bonjour,
Avec une récurrence.
En 3ème, il faudrait formuler ça autrement.
En fait, pour la question posée, il suffit de voir ce qui se passe pour les premières puissances de 1+2 .
Etudier (1+2)n = x + y
2 avec x et y entiers.
Pour n = 1 x2 - 2y2 = -1
Pour n = 2 x2 - 2y2 = 1
Pour n = 3 x2 - 2y2 = -1
.....................
On peut démontrer que si (1+2)n = x + y
2 alors
(1+2)n+1 = x' + y'
2 avec x' = x+2y et y' = x+y .
En déduire ( x')2 - 2(y')2 = - ( x2 - 2y2)
Merci beaucoup pour tes réponses
Oui la récurrence est nécessaire
Je ne sais pas pourquoi ils ont posé cet exercice pour le niveau du 3eme .
De toute les façons c'est un plus pour ma culture mathématique.
Encore une fois MERCI
Pour répondre à la question de l'exercice, ce que j'ai proposé ce matin convient. La récurrence n'est pas nécessaire.
Est-ce envisageable en 3ème dans un exercice "des défis" ?
La récurrence que vous avez proposé montre qu'ils existent a et b deux entiers tq : (1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2
Mais l'énoncé admet cette existence
Moi je veux voir est ce que
Si (1+√2)²⁰⁰⁶ =a+b√2 alors
(1-√2)²⁰⁰⁶ =a-b√2
Pour pouvoir deduire que a²−2b² =1
Bonjour,
Il me semble que le plus simple est d'utiliser la formule du binôme de Newton.
(1-2)2006 est une somme de
La somme des termes avec p pair donne a entier. La somme des termes avec p impair donne -b2 avec b entier.
Pour (1+2)2006 , on trouve a+b
2 avec le même a et le même b .
Bonsoir
Ne faut il pas justifier que c'est le mêmea et le même b?
Par contre la démonstration par récurrence de la proposition :
Si (1+√2)ⁿ=a+b√2
alors (1-√2)ⁿ=a-b√2
est facile
Donc je crois que cet exercice ne peut être traité avec le niveau de 3eme et ceux qui l'on mis dans ce niveau ce sont trompés
MERCI BEAUCOUP
Bonjour,
Oui vous avez justifié et je suis parfaitement convaincu de vos réponses
MERCI BEAUCOUP
Et a une prochaine discussion
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