bonsoir !

déjà, pour se débarrasser des cosinus :
on a
    
ainsi
    
en réduisant un peu :
    

on peut faire le même travail pour les autres et on trouve :
    

pour la suite, il faudrait peut-être tenter de transformer cette somme de sinus en produit ...

(pour la suite, je ne vais plus mettre les chapeaux, comme tu l'as d'ailleurs fait )

en fait , on voudrait montrer que
    
c'est-à-dire
    
or tu rappelles que
     i.e.
donc
    

d'après la tête de ce truc ( et ), on a sinus qui vont apparaître

on a, d'après les relations que tu as rappelées :
    , etc.
donc
    

il nous faudrait montrer que :
    

plus le courage de regarder ça
je suis presque HS là

Bonsoir !

Relativement au post de nonoparadox :
     exercice relations trigonométriques dans le triangle
(la configuration est un triangle
et l'on note
    
pour ne pas alourdir les notations )

J'en viens à vouloir démontrer que :
    ,
sachant que .

Ne pas oublier aussi que

Merci d'avance.

*** message déplacé ***

sin(2A) = sin(2.(Pi-B-C))
sin(2A) = sin(2.Pi-2B-2C)
sin(2A) = sin(-2B-2C)
sin(2A) = -sin(2B+2C)
sin(2A) = -sin(2B)cos(2C)-cos(2B).sin(2C)
sin(2A) = -2.sin(B).cos(B).(cos²(C)-sin²(C)) - 2.sin(C).cos(C).(cos²(B)-sin²(B))
sin(2A) = -2.sin(B).cos(B).cos²(C) + 2.sin(B).cos(B).sin²(C) - 2.sin(C).cos(C).cos²(B) + 2.sin(C).cos(C).sin²(B)  (1)
---
sin(A) = sin(Pi-(B+C)) = sin(B+C)
sin(A) = sin(B).cos(C)+cos(B).sin(C)   (2)
---
sin(2B) = 2.sin(B).cos(B)   (3)
sin(2C) = 2.sin(C).cos(C)   (4)
-----
(1), (2), (3) et (4) remis dans lé relation à démontrer -->
sin(2A) + sin(2B) + sin(2C) =? 4.sin(A).sin(B).sin(C)

-2.sin(B).cos(B).cos²(C) + 2.sin(B).cos(B).sin²(C) - 2.sin(C).cos(C).cos²(B) + 2.sin(C).cos(C).sin²(B)  + 2.sin(B).cos(B) + 2.sin(C).cos(C) = ? 4.[sin(B).cos(C)+cos(B).sin(C)].sin(B).sin(C)
En regroupant les morceaux adéquats -->

2.sin(B).cos(B).(1-cos²(C)) + 2sin(C).cos(C).(1 - cos²(B)) + 2.sin(B).cos(B).sin²(C) + 2.sin(C).cos(C).sin²(B) = ? 4.[sin(B).cos(C)+cos(B).sin(C)].sin(B).sin(C)

2.sin(B).cos(B).sin²(C) + 2sin(C).cos(C).sin²(B) + 2.sin(B).cos(B).sin²(C) + 2.sin(C).cos(C).sin²(B) = ? 4.[sin(B).cos(C)+cos(B).sin(C)].sin(B).sin(C)

4.sin(B).cos(B).sin²(C) + 4sin(C).cos(C).sin²(B) = ? 4.[sin(B).cos(C)+cos(B).sin(C)].sin(B).sin(C)

4.sin(B).cos(B).sin²(C) + 4sin(C).cos(C).sin²(B) = ? 4.sin²(B).sin(C).cos(C) + 4.cos(B).sin²(C).sin(B)

Les 2 membres sont bien identiques et donc la relation est démontrée.
-----
Sauf distraction.  


*** message déplacé ***