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Niveau seconde
Exercice sur " David Gawen Champernowne "
Posté par pi-af
Bonsoir, j'ai eu aujourd'hui un exercice complémentaire ( donc non obligatoire ) qui peut me rapporter deux points à un contrôle ma foi fort difficile. J'ai beau cherché, mais à part une migraine, je n'ai eu aucun résultat. Je vous poste donc ce problème, sur le mathématicien David Gawen Champernown.
" David Gawen Champernown a donné son nom à une constance ... transcendante. Elle est construite en commençant par "0" et en écrivant tous les entiers successifs à partir de 1.
Ce qui donne : 0,123456789101112131415161718192021222324252627282930...
La question est : Quel est le nombre formé par les 11 décimales de rang 2010 à 2020 ?
Indication pour bien comprendre le sens de la question : le nombre formé par les 11 décimales de rang 10 à 20 est 101112131415 souligné au dessus.
Évidemment, il sera judicieux de trouver une méthode de démonstration qui ne consiste pas à écrire complétement les décimales jusqu'à la 2020ème ... "
Voilà ! Je ne comprend absolument rien ... J'espère que j'aurai une réponse, et je vous remercie d'avance. Bonne soirée.
Salut,
Je verrais bien un truc genre :
de 1 à 9 , on a écrit 9 décimales.
De 10 à 99 , on en a écrit 90*2=180 de plus , donc 189 au total.
Puis chaque nombre suivant en ajoute 3 décimales (jusqu'à 999).
On en a déjà 189 , on en veut 2010 , il en manque 1821. Et 1821:3=607.
On écrit donc 607 nombres à 3 décimales, donc les nombres de 100 à 706.
Donc (sauf erreur), les 11 décimales cherchées devraient être : 67077087097.
Merci pour ce message si rapide et pour ta disponibilité, mais je crois avoir décelé une erreur dans ton raisonnement ... Tu dis " De 10 à 99 , on en a écrit 90 " mais on n'en écris que 89 non ? 99-10 = 89 , à moins que je me trompe...
Tu te trompe.
De 10 à 99, on en a écrit 99-9=90 (le 10, on l'a écrit, faut pas le retirer du décompte...)
Citation :
On en a déjà 189 , on en veut 2010 , il en manque 1821
Donc, pour aller à la 2010ème décimale, il faut prendre les 607 premier nombres à 3 chiffres, le dernier chiffre écrit sera cette 2010ème décimale.On en a déjà 189 , on en veut 2010 , il en manque 1821
Ah d'accord... Et bien honnêtement, je vous remercie énormément, vous deux. Merci beaucoup ! Vous êtes vraiment fort ! Allez, bonne soirée !
pendant que vous y êtes prouvez donc l'irrationalité de ce nombre (la transcendance c'est hors de portée Master 1).
Si le nombre est rationnel, sa suite décimale comprend une série qui se répète infiniment.
C'est clairement incompatible avec la définition du nombre.
Donc par l'absurde...
"comprend une série qui se répète infiniment.
C'est clairement incompatible avec la définition du nombre" plus qu'à rédiger proprement 
"malpropre" toi même !
Bon OK, lolo je fais un petit effort, même si je trouve que l'argument suffit en soi.
Un nombre rationnel a une suite décimale qui comprend une série finie qui se répète à l'infini.
On écarte le cas d'un nombre décimal où le zéro se répète : le nombre de DGC ne peut être décimal.
Reste la possibilité d'une série finie non nulle qui se répète : elle a donc une certaine longueur.
Or, aussi grande soit cette longueur, il y aura toujour un rang N pour lequel le terme ajouté à la suite des nombres qui constituent les décimales du nombre de DGC, comprendra bien plus de zéros que cette longueur.
Celà "interdit" la répétition infinie du motif (non nul).
Et donc le nombre est irrationnel.
Il y a probablement plus simple, ou plus propre... mais pour moi c'est suffisant 
.