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exercice sur les complexe et rotation
Bonjour
Je dois rendre rapidement un exercice sur les complexes mais je bloques
dès la 3ème questions.... Si vous pouviez m'aider... merci d'avance
Voici le sujet: On considère la transformation f, qui au point M d'affixe
z associe le point M' d'affixe z' définie par :
z'=-jz+i où j= exponentielle de (2 
i )/3
1) Démontrer que f admet exactement un point invariant 
dont on donnera l'affixe 
sous forme algébrique.
A cette question j'ai trouvé ( ( 
3 /2)+ (1/2)i
2) Donner une écriture exponentielle de
J'ai trouvé z= exponentielle de (i /6)
3) Démontrer que f est une rotation d'angle - /3
C'est là que je bloque...;si vous savez comment faire expliquez le moi
s'il vous plait.
Merci d'avance
1)
Invariant si z = z'
z = -jz + i
z(1+j) = i
z = i/(1+j)
j = cos(2Pi/3) + i.sin(2Pi/3)
j = -1/2 + (1/2).V3 .i
z = i/ [1/2 + (1/2).V3 .i]
z = i.[1/2 - (1/2).V3 .i]/[(1/2 + (1/2).V3 .i)(1/2 - (1/2).V3 .i)]
z = i.[1/2 - (1/2).V3 .i]/((1/4) + (3/4))
z = (1/2).V3 + (1/2)i.
-> ta réponse est bonne.
-----
2)
(1/2).V3 + (1/2)i. = cos(Pi/6) + i.sin(Pi/6) = e^(i.Pi/6)
-> ta réponse est bonne.
-----
3)
z' = -z(cos(2Pi/3) + i.sin(2Pi/3)) + i
z' = -z.(-(1/2) + (1/2)V3 i) + i
z' = -(x + iy)(-(1/2) + (1/2)V3 i) + i
z' = (1/2)x - (1/2)V3 xi + (1/2)y +(1/2)V3 y + i (1)
z.e^(-Pi/3) = z.(cos(-Pi/3) + i.sin(-Pi/3)) = z.((1/2) - (1/2).V3 i)
z.e^(-Pi/3) = (x + iy).((1/2) - (1/2).V3 i)
z.e^(-Pi/3) = (1/2)x - (1/2).V3 ix + (1/2)iy + (1/2)V3 y (2)
(1) et (2) ->
z' = z.e^(-Pi/3) + i
Et donc il semble bien que c'est raté.
Es-tu sûre de ton énoncé ?
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