Bonjour pourriez vous m'aider car je n'arrive pas à  faire aucunes questions de cette exercice. Voici l'énoncé :


Déterminer la valeur approchée d'une intégrale

Soit la fonction f définie par f(x) = 1/(1-xexp(x))
On se propose de déterminer un encadrement de l'intégrale de 0 à 1 de f(x)dx, notée I.

1) En utilisant les variations de g(x) = 1-xexp(x) sur R, montrer que la fonction f est définie sur R et que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 1], 1 ≤ f(x) ≤ e/(1-e).

2) Donner une interprétation graphique de l'intégrale I.

3) Pour tout entier naturel n non nul, on pose J(n) = intégral de 0 à 1 x^nexp(-nx)dx.
a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que J(1) = 1-(2/e).
b) Déterminer les coefficients a,b et c tels que la fonction H définie par H(x) = (ax²+bx+c)exp(-2x) soit une primitive de h(x) = x²exp(-2x).
Sans intégrer par parties, en déduire que J(2) = ¼(1-(5/e²)).

4) Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
u(n) = 1+J1+J2+…+J(n)
a) Justifier que, pour tout nombre réel x :

1+xe(-x)+x²e(-2x)+…+x^ne(-nx) = (1-(xe(-x))^(n+1))/(1-xe(-x))

b) Montrer que I-un = ∫ de 0 à 1 x^(n+1)e(-(n+1)x)f(x) dx.

c) Montrer que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 1] :

0 ≤ xe(-x) ≤ 1/e
En déduire que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 1] :
0 ≤ x^(n+1)e(-(n+1)x)f(x) ≤ 1/(e(n)(e-1)).

d) Déduire des questions précédentes un encadrement de I-un.

5) a) Montrer que u² ≤ I ≤ u²+1/(e²(e-1))
b) Sachant que u² = 1+J1+J2, trouver deux nombres décimaux d1 et d2tels que 0 < d2-d1 < 10^-1 et d1 < I < d2.

Merci d'avance pour votre aide !