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exercice sur les polynômes

Posté par
newrine
27-10-14 à 09:57

Salut
j'ai juste un petit problème lors d'un calcul, je ne comprends pas comment on passe de :
(X²+1)P''(X)-6P(X)=X²P''(X)+P''(X)-6P(X)
                  =X²( (de k=2 à n) k(k-1)akXk-2) + ( (de k=0 à n-2) (k+2)(k+1)ak+2Xk)-6 (de k=0 à n) akXk

à :
(2a2-6a0)X0+(6a3-6a1)X + (de k=2 à n-2) [(k(k-1)-6)ak + (k+2)(k+1)ak+2]Xk + ((n-1)(n-2)-6)an-1Xn-1 +(n(n-1)-6)anXn


je suppose que c'est avec les indices communs mais je ne vois pas comment ça se fait ...
Merci d'avance !

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 10:11

Il suffit de chercher le coefficient de X^k dans X^2P''(X), dans P''(X) et dans -6P(X).

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 11:42

Merci, j'ai compris ce que vous dîtes mais je n'arrive pas à le faire ...
pourtant je sais que le coefficient d'un polynôme c'est ak ... mais je n'arrive pas à les voir ici ...

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 11:48

Parce que dans ce que je dois arriver il y a des X0, X Xn-1 Xn ... alors que moi j'ai des Xk-2 X² Xk ....

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 12:37

Il y a quelque chose qui cloche : tu indiques comme niveau d'étude "math spé" et tu n'arrives pas à faire ça ?
Commençons simple. Soit a_k est le coefficient de X^k dans P, pour 0\leq k \leq n.
1) Quel est le coefficient de X^k dans -6P ?
2) Quel est le coefficient de X^k dans P'' ?
2) Quel est le coefficient de X^k dans X^2P'' ?

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 14:10

(je ne suis pas en "math spé" je me suis trompé alors en remplissant ça :p)
1)-6ak
2)kak
2)(ak)²k(k-1)ak   (je ne suis pas trop sûr pour celui là... :/ )

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 14:32

Corrige ton profil. Normalement, le profil indique à quel niveau on peut situer la réponse à une question. Quel est vraiment ton niveau d'étude ?

Le 1) et correct. Le 2) et le 3), pas du tout.
Prends un monôme a_\ell X^\ell. Tu le dérives deux fois. Qu'est-ce que ça donne ?

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 14:37

il n'y a pas le niveau "1ère année de prépa" ...

ça me donne la dérivée seconde non?
P''= ( de k=2 à n ) k(k-1)akXk-2

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 14:57

1e année de prépa, c'est math sup.
Sinon, tu peux identifier le coefficient de X^k dans P'', non ?
Si tu veux éviter de t'emméler les pinceaux, tu peux écrire plutôt P''=\sum_{\ell=2}^n \ell(\ell-1)\,X^{\ell-2} pour chercher le coefficient de X^k dans P''.

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 15:08

et pourquoi il n'y a pas de ak dans votre formule de P'' ? ...
sinon le coefficient serait l(l-1) non? mais il ne faut pas mettre le ak?

(ha et le 2 je m'étais trompé car j'avais donné le coefficient de P' en fait )

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 15:16

Parce que je l'ai oublié : P''=\sum_{\ell=2}^n \ell(\ell-1)\,a_\ell\,X^{\ell-2}
Et tu remarqueras que dans cette dérivée seconde, k(k-1)a_k n'est pas le coeffcient de X^k, mais celui de X^{k-2} !!!
Pour trouver le coefficient de X^k dans \sum_{\ell=2}^n \ell(\ell-1)\,a_\ell\,X^{\ell-2}, on prend le \ell tel que \ell-2=k. C'est pour ça que j'avais changé le nom de l'indice de sommation, mais ça ne t'a pas empéché de persister dans l'erreur.

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 15:38

Ha .. je crois que j'ai compris ^^
du coup le coefficient de Xk ce serait:
(k+2)(k+1)al  ?

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 15:42

Presque... mais pas tout à fait. Relis attentivement ce que tu as écrit et corrige. Et précise pour quels k ceci a lieu.
Ensuite, passe au coefficient de X^k dans X^2\, P''(X).

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 15:55

moi je dirais que le coefficient de P'' c'est (k+2)(k+1)ak ... (k=2 jusqu'à n)

mais est ce que X² a pour coefficient a2 ?

et du coup est ce qu'on les multiplie?

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 15:57

je 'arrive pas à faire le lien entre ça et ce qu'on doit trouver dans la formule finale ...

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 16:01

Toujours pas pour le coefficient de X^k dans P'' !  
Je répète : pour trouver le coefficient de X^k dans P''=\sum_{\ell=2}^n \ell(\ell-1)\,a_\ell\,X^{\ell-2}, on prend le \ell tel que \ell-2=k. Tout le travail est mâché, essaie tout de même d'arriver au bout sans te tromper !

P'' est écrit ci-dessus. Maintenant X^2\,P''= {?}

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 16:21

coefficient: (k+2)(k+1)ak+2

P''= a2((k+2)(k+1)ak+2)       ?

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 16:51

Bon, on y arrive tout de même pour le coefficient de X^k dans P'' !

Mais la ligne d'après, c'est du grand n'importe quoi !

Reprenons calmement : puisque P''=\sum_{\ell=2}^n \ell(\ell-1)\,a_\ell\,X^{\ell-2}, on a X^2 P''=X^2\left(\sum_{\ell=2}^n \ell(\ell-1)\,a_\ell\,X^{\ell-2}\right)={?}

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 17:35

mais il ne faut pas prendre le coefficient de X²? ... d'ailleurs, celui est bien a2?

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 17:42



Pouce, j'abandonne.

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 17:49

oh non  :'( s'il vous plaît
c'est quoi sinon ? je pense que je comprendrais avec la réponse ...

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 18:00

Quand je vois que tu n'arrives pas à écrire X^2\left(\sum_{\ell=2}^n \ell(\ell-1)\,a_\ell\,X^{\ell-2}\right)=\sum_{\ell=2}^n \ell(\ell-1)\,a_\ell\,X^{\ell}\right), je me demande à quoi peut bien servir mon aide...

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 18:09


en fait, juste le X² c'est quoi s'il vous-plaît ?

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 18:15

C'est la carré de X. C'est un polynôme, comme X^2-X+1, ou  4X^3-2, ou ...

Et X^2 P'', c'est le polynôme X^2 multiplié par le polynôme P''. Qu'est-ce que ça pourrait être d'autre, franchement ?

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 18:20

oui je suis bien d'accord, mais dans la formule il n'y est plus, donc c'est qu'on la fait partir comme dans votre post de 18:00 je pense mais je n'ai pas bien compris cette étape vu qu'apparemment on ne prends pas son coefficient ... :(

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 18:33

Citation :
dans la formule il n'y est plus, donc c'est qu'on la fait partir comme dans votre post de 18:00


Je ne comprends rien à ce que tu racontes. Je ne peux donc pas continuer. Je sors.

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 27-10-14 à 19:38

ben dans ce que je comprenais pas de mon 1er post, il n'y a pas le X² dedans, donc je voulais savoir comment ont l'avait "enlevé"

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 09:25

st si quelqu'un peut m'éclairer, je ne vois pas d'où viennent par exemple les a3 et tous les 6 ...

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 10:05

J'ai l'impression que tu es complètement à l'ouest sur ce qu'est un polynôme. Tu devrais sérieusement reprendre ton cours là-dessus, sinon tu continueras à patauger sans t'en sortir. Mais je fais une dernière tentative.
Tu remarqueras que dans la formule que tu donnes dans ton premier message, le coefficient de X^k (pour k compris allant de 2 à n-2) dans X^2\,P''(X)+P''(X)-6\,P(X) est :

(k(k-1)-6)a_k + (k+2)(k+1)a_{k+2}

Or on a déjà vu
1°) (assez vite) que le coefficient de X^k dans -6\, P(X) est -6\,a_k,
2°) (péniblement) que le coefficient de X^k dans P''(X) est (k+2)(k+1)a_{k+2}.

Il reste à identifier le coefficient de X^k dans X^2\,P''(X), et là tu fais n'importe quoi. J'ai pourtant écrit explicitement X^2\,P''(X) dans mon message du 27-10-14 à 18:00, et il suffit de lire. Encore faut-il lire correctement ! Tu racontes que X^2 a disparu dans cette écriture. Ca n'a aucun sens !
Regarde par exemple : soit Q(X)=X^3-3\,X^2+7\,X. Alors X^2\,Q(X)= X^2\,(X^3-3\,X^2+7\,X)= X^5-3\,X^4+7\,X^3. Alors, X^2 a disparu ? Quel sens ça a ?

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 10:40

Désolé pour hier je sais pas ce que j'ai eu ! quand je relis les messages ...

Bref, le coefficient est .......:
k(k-1)ak   !!

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 10:55

Ensuite j'ai compris pour :
(2a2-6a0)X0+(6-a3-6a1)X1
mais ensuite je comptais faire la somme de tout ce qui restait de k=2 à n mais ils ne font pas comme ça ... pourquoi ils prennent pour k puis n-1 puis n?

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 10:57

Quel est le degré de P''(X) ?

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 11:02

Ha oui c'est n-2 !

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 11:14

je ne comprends pas trop pourquoi dans:
(de k=2 à n-2) [(k(k-1)-6)ak + (k+2)(k+1)ak+2]Xk
il y a k et k+2 en indices,pourquoi on prends ces termes ?

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 11:20

Ha ...
parce que pour le degré k, on part de k et n-2=k d'où n=k+2   ?
c'est pas très clair dans ma tête ...

Posté par
Robot
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 13:42

Tu as tous les éléments, détaillés en long, en large et en travers. A toi de faire le ménage dans ta tête, je ne peux pas le faire à ta place.

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 28-10-14 à 22:01

non mais je ne vois pas d'où ils viennent vraiment ...   ça a un rapport avec mon post de 11h20?
En plus je suis sûr que c'est tout bête ...

Posté par
newrine
re : exercice sur les polynômes 29-10-14 à 23:01

je ne trouve pas d'où ils viennent, et je n'arrive pas à faire le ménage



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