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Exercice sur un tétraèdre régulier
Voilà ça va faire plus d'une semaine que je travaille sur un exos de maths, mais je n'y arrive pas du tout, si vous pouviez m'aidez ce serait génial.
On a un tétraèdre régulier ABCD, on note G le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD) et I le milieu de [AG].
1-Démontrer que G est le centre de gravité du triangle BCD
Je sais qu'il faut que je démontre que vecGB + vecGC + vecGD = 0, mais je sais pas comment.
2-Déterminer les coordonées de G et de I dans le repère (A; vecAB; vecAc; vecAD)
J'ai trouvé G(1/3;1/3;1/3) et I(1/6;1/6;16)
3-Cauculer vecIB*vecIC, en déduire que les droites (IB), (IC) et (ID) sont deux à deux orthogonales.
Là ça coince.
Je vous remercie d'avance si vous m'aidez.
bonjour Oréa
1) la réponse à cette question vous l'avez faites en répondant à la question 2.
3) I milieu de [AG] donc 2AI=AG
comme 3AG=AB+AC+AD
donc AI=1/6(AB+AC+AD)
IB=IA+AB= - 1/6(AB+AC+AD)+ AB
= 1/6(5AB -AC -AD)
de la même manière
IC=1/6(-AB+5AC-AD)
donc
IB.IC= 1/36(-5AB²+25AB.AC-5AB.AD-AC.AB-5AC²+AC.AD+AB.AD-5AC.AD+AD²)
=1/36(-5AB²-5AC²+AD²+24AB.AC-4AB.AD-4AC.AD)
comme ABCD est un tétraèdre régulier :
AB²=AC²=AD²
et AB.AC=AB²cos(Pi/3)=AB²/2
de même AB.AD=AB²/2 et AC.AD=AB²/2
donc
IB.IC=1/36(-5AB²-5AB²+AB²+24/2AB²-2AB²-2AB²)=0
donc IB est othogonal à IC
faites de même pour les autres produits scalaires
Bonjour
1)
Soient G le centre de gravité de la face BDC qui est équilatéral , M milieu de BC et N milieu de DC
Montrons que AG est perpendiculaire au plan BDC : en effet BC est perpendiculaire à AM et à DM donc perpendiculaire au plan AMD ==> AG et BC sont orthogonales ; de même on montre que DC est perpendiculaire au plan ANB ==> AG et DC sont orthogonales
==> AG perpendiculaire au plan BDC
2)
2AG = 2( AM + MG) = AB + AC + GD = AB + AC + (GA + AD) ==> 2AG - GA = AB + AC + AD ==> AG = (AB +AC + AD)/3
OK pour I
3)
Attention le repère n'est pas orthonormé : on ne peut pas employer les formules habituelles
ainsi AB.AC = |AB|.|AC|.cos(60°) = 1/2 et non pas (1,0,0).(0,1,0) = 0
AG=rac(2/3) et AI=1/rac(6)
IB.IC=(AB-AI).(AC-AI)= AB.AC + AI² - AB.AI - AC.AI = 1/2 + 1/6 - 2*cos(35°)/rac(6)= 2/3-0.66 = 0
Je regarderai tantôt s'il n'y a pas plus simple
A+
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