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Exercice théorème de comparaison des fonctions

Posté par
chouettelali
25-10-19 à 12:14

Bonjour,
Nous avons plusieurs exercices à faire pour la rentrée, et c'est vrai que j'ai un peu du mal à me remettre dans le chapitre.
Voici l'exercice sur lequel je bloque, en esperant que vous puissiez m'aider:
1) Démontrer que pour tout réel x≥1, on a :

1/2 ≤ x/(x+1) ≤1

2) En déduire les valeurs de

lim  x(cqrd(x)/x+1 quand x-> +infini
lim x/(cqrd(x)x(x+1) quand x-> + infini

Je sais que la première question n'est pas censée me poser problème mais je bloque..

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice théorème de comparaison des fonctions 25-10-19 à 12:17

bonjour
une méthode grandement classique pour montrer que a< b et d'évaluer a-b et de regarder son signe
et on peut faire de plein d'autres manières aussi

Posté par
chouettelali
re : Exercice théorème de comparaison des fonctions 25-10-19 à 12:26

Oui mais je vois pas comment cela pourrait nous aider puisque ça nous donnerait :
1/2-(x/x+1) et je ne vois pas comment simplifier l'expression

Je pensais plutôt à encadrer le x et et procéder par une méthode d'inequation :
1≤x≤=infini
donc 1/x+1≤x/x+1≤ ?? mais c'est la que je bloque

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice théorème de comparaison des fonctions 25-10-19 à 12:47

et la réduction au même dénominateur, ça existe, non ?

Posté par
chouettelali
re : Exercice théorème de comparaison des fonctions 25-10-19 à 13:21

Oui pardon,

Cela nous donne
1/2 - x/x+1
<=> ((x+1)/2x+2 )- (2x/2x+2)      pour tout x > -1
<=> -x+1/2x+2

Il faut donc étudier le signe du numérateur et dénominateur

-x+1 s'annule pour x=1
2x +2 a une valeur interdite, -1

on dresse le tableau de signe :

x                     -8         -1             1         +8
-x+1                     +                     /             -
2x+2                    -      //                     +

-x+1/2x+2        -      //     +     /        -


Donc pour x≥1  on a 1/2 ≤  x/x+1
Je dois donc faire la même chose pour x/x+1 ≤ 1 :
soit x/x+1 - 1 ≤ 0
1/x+1≤ 0

x          +8                  -1                      +8
1                         +                           +
x+1                   -          /               +
1/x+1               -          /                +

Donc le quotient est bien positif, x/x+1 ≤ 1

On a donc 1/2 ≤ x/x+1 ≤ 1

Même si cette technique marche, je la trouve un peu longue à faire comparé à certains exercices que l'on a fait en classe, et c'est vrai qu'elle ne permet pas non plus de retrouver les bornes directement, elle ne fait que "verifier" alors que l'exercice dit bien de démontrer ...

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice théorème de comparaison des fonctions 25-10-19 à 13:29

alors
il manque plein de parenthèses
tu démontres bien, car au début tu fais un calcul d'une expression, dont tu démontres le signe ensuite
il faut connaître cette méthode, qui peut être parfois incontournable

mais, j'avais dit "plein d'autres méthodes"
ton x est supérieur ou égal à 1 !! donc que ce soit x ou x+1, tout ça c'est positif !

x x+1
je divise les deux membres par....

idem pour l'autre inégalité, ça peut être fait en 2 lignes !

Posté par
chouettelali
re : Exercice théorème de comparaison des fonctions 25-10-19 à 13:55

Oui, c'est vrai que j'ai fait la demarche complete alors que la condition était seulement pour tout x ≥ 1
x≤x+1 on divise les deux membres par x?
et on obtient 1≤ x ce qui correspond à notre énoncé

mais ce qui me bloque c'est que l'enoncé dit bien "Démontrer" et non "verifier" donc pour moi il faut retrouver les bornes 1/2 et 1, comme si elles ne nous étaient pas données dans l'ex
Pouvez- vous me rappeler les quelques autres méthodes qui existent pour ce genre de démonstration ?
Merci encore pour votre aide

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice théorème de comparaison des fonctions 25-10-19 à 13:57

Citation :
x≤x+1 on divise les deux membres par x?
et on obtient 1≤ x

euh pas vraiment

Posté par
chouettelali
re : Exercice théorème de comparaison des fonctions 25-10-19 à 13:59

par x+1 plutot ?



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