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Exercice TS suite d'intégrale

Posté par
BlackBird 08-04-19 à 18:45

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide quant à la méthode à employer pour cet exercice:

On considère la suite I_n définie pour n \in \mathbb{N}^* par I_n = \int_0^{1} x^n e^{x^2} dx
1) Montrer que \forall n \ge 1, on a I_n \ge 0
2) Montrer que I_n est décroissante
3) En déduire que I_n converge
4) En remarquant que \forall x \in [0, 1], 1 \le e^{x^2} \le e , donner un encadrement de I_n et en déduire sa limite.

Je n'ai pour l'instant réfléchi qu'à la première question. J'ai d'abord pensé à raisonner par récurrence, mais j'avais des problèmes pour l'hérédité (au passage, question qui peut sembler bête, mais est-ce que dans une inéquation de la forme xe^x \ge 0 j'ai le droit de multiplier par x de chaque côté ce qui me donne x^2 e^x \ge 0ou pas?)
Du coup je pense qu'il faut démontrer que x^n e^{x^2} \ge 0 sur [0;1] et donc que d'après la positivité de l'intégrale I_n \ge 0 mais j'y arrive pas.
Merci de votre aide

Posté par
Yzzre : Exercice TS suite d'intégrale 08-04-19 à 18:48

Salut,

L'intégrale d'une fct positive est positive.

Signe de xn sur [0;1] ? signe de ex² , et donc ...?

Posté par
carpediemre : Exercice TS suite d'intégrale 08-04-19 à 18:50

salut

soit f(x) = x^ne^{x^2} ... que peut-on en dire ... sur l'intervalle [0, 1] ?

ça ne te semble pas évident qu'elle est positive sur [0, 1] ?

Posté par
BlackBirdre : Exercice TS suite d'intégrale 09-04-19 à 14:25

à la réflexion, c'était tout con, merci

Posté par
BlackBirdre : Exercice TS suite d'intégrale 09-04-19 à 14:40

Par contre est-ce que vous avez une idée pour la dernière question? je comprends pas ce qu'il faut faire pour y arriver

Posté par
Yzzre : Exercice TS suite d'intégrale 09-04-19 à 14:50

Tu as un encadrement de ex² , donc un encadrement de xnex², donc un encadrement de In ...

Posté par
BlackBirdre : Exercice TS suite d'intégrale 09-04-19 à 17:05

Un encadrement,   x^n \le x^n e^{x^2} \le e x^n avec les intégrales? je vois pas en quoi ça m'avance pour trouver la limite en fait...

Posté par
carpediemre : Exercice TS suite d'intégrale 09-04-19 à 17:37

ben peut-être intégrer sur [0, 1] et calculer les intégrales ... puis regarder et voir !!!

Posté par
BlackBirdre : Exercice TS suite d'intégrale 09-04-19 à 17:53

J'avais avoir du mal à intégrer avec des x^n

Posté par
BlackBirdre : Exercice TS suite d'intégrale 09-04-19 à 17:54

Nan j'ai parlé trop vite

Posté par
Yzzre : Exercice TS suite d'intégrale 09-04-19 à 19:00

Citation :
Nan
Connais pas.

Posté par
BlackBirdre : Exercice TS suite d'intégrale 10-04-19 à 02:22

bon, j'ai pas avancé, je ne vois pas l'utilité d'un encadrement avec des x^n et ne comprend toujours pas comment d'un encadrement on peut arriver à la limite..

Posté par
Ramanujanre : Exercice TS suite d'intégrale 10-04-19 à 02:27

Bonsoir,

\forall x \in [0, 1], 1 \le e^{x^2} \le e

Comme \forall x \in [0, 1] : x^n > 0 on obtient :

\forall x \in [0, 1], x^n \le x^n e^{x^2} \le e x^n

Par passage à l'intégrale : \int_0^1 x^n dx \leq I_n \leq e \int_0^1 x^n dx

Tu ne sais pas intégrer x^n ?

Pour la limite théorème des gendarmes.

Posté par
BlackBirdre : Exercice TS suite d'intégrale 10-04-19 à 02:34

bah primitive de x^n = 1/(n+1) x^{n+1} ce qui fait que \int_0^{1} x^n =1/(n+1) mais jvois pas en quoi ça m'avance

Posté par
Ramanujanre : Exercice TS suite d'intégrale 10-04-19 à 03:03

On obtient : \dfrac{1}{n+1} \leq I_n \leq \dfrac {e}{n+1}

Que vaut : \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n+1} ?

Posté par
BlackBirdre : Exercice TS suite d'intégrale 10-04-19 à 03:06

C'était tout con, jme sens débile, quoi qu'il en soit merci

Posté par
Yzzre : Exercice TS suite d'intégrale 10-04-19 à 04:54

De rien  

Posté par
carpediemre : Exercice TS suite d'intégrale 10-04-19 à 12:53

BlackBird @ 10-04-2019 à 02:34

bah primitive de x^n = 1/(n+1) x^{n+1} ce qui fait que \int_0^{1} x^n =1/(n+1) mais jvois pas en quoi ça m'avance
il est triste d'avancer à demi-pas ... et à un moment il faut écrire totalement les choses puis regarder, voir et penser ... ce qui évite ce genre de propos :
BlackBird @ 10-04-2019 à 03:06

C'était tout con, jme sens débile, quoi qu'il en soit merci


il est temps de se mettre au boulot sérieusement ... à pas loin du bac ...


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