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Niveau terminale
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exercices de continuité de fonctions

Posté par
azerty00
04-10-16 à 00:28

Bonjour ,
Prière de m'aider à résoudre cet exercice :
Déterminez toutes les fonctions continues telles que f(2009)=2009^2008 , x,t;f(x)+f(t)=f(x+t).

Posté par
luzak
re : exercices de continuité de fonctions 04-10-16 à 08:56

Bonjour !
Commencer par trouver f(0) et établir \forall x\in\R,\;f(-x)=-f(x)
Montrer par récurrence que \forall(n,x)\in\N\times\R,\;f(nx)=n\,f(x).
Montrer que \forall(n,x)\in\Z\times\R,\;f(nx)=n\,f(x).
Montrer que \forall(r,x)\in\Q\times\R,\;f(rx)=r\,f(x)
Utiliser la continuité pour montrer  \forall x\in\R,\;f(x)=x\,f(1)
Trouver f(1) grâce à la relation donnée.

Posté par
azerty00
re : exercices de continuité de fonctions 04-10-16 à 19:09

luzak @ 04-10-2016 à 08:56

Bonjour !
Commencer par trouver f(0) et établir \forall x\in\R,\;f(-x)=-f(x)
Montrer par récurrence que \forall(n,x)\in\N\times\R,\;f(nx)=n\,f(x).
Montrer que \forall(n,x)\in\Z\times\R,\;f(nx)=n\,f(x).
Montrer que \forall(r,x)\in\Q\times\R,\;f(rx)=r\,f(x)
Utiliser la continuité pour montrer  \forall x\in\R,\;f(x)=x\,f(1)
Trouver f(1) grâce à la relation donnée.


Merci beaucoup Izac , toutefois j'ai pas compris le lien entre mon exercice et cette résolution ???!!

Posté par
luzak
re : exercices de continuité de fonctions 04-10-16 à 23:52

Le lien est simple : si tu montres que f(x)=xf(1), en remplaçant x par 2009 tu trouveras f(1) donc l'unique fonction f qui convient.



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