Bonjour à vous, ci-joint un exercice de Mathématiques portant sur les suites.
Tout va bien, rien de très compliqué jusqu'à la question 5 b)
Sn et In sont deux suites géométriques respectivement de raison 1,01 et de 1,02. Je n'arrive pas à savoir si Rn est aussi une suite géométrique, et si oui, comment le prouver. Ou alors il faut que je prouve autre chose.
Merci de votre éclairage.


En 2016, Jeanne remplit pour la première fois sa déclaration d'impôts. Elle déclare ses 20 000 􀂼 de revenu annuel. Elle reçoit son avis d'imposition et paie 1 800 􀂼.

1) Quel est son taux d'imposition ?

On suppose que les années suivantes son salaire annuel augmente de 1 %, et son impôt
de 2 % par an. Jeanne aimerait se projeter et connaître son revenu réellement disponible.

Dans ce but, on pose, pour tout entier n positif ou nul :

S(n) , le salaire annuel en euros de l'année n de Jeanne
I(n)  , le montant de l'impôt payé en année n
R(n) , le revenu disponible (après impôt) en année n

On considère l'année 2016 comme l'année 0.

2) Calculer R0 ,S1, , I1,R1,S2,, I 2,R2 .

3) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier positif n, on a:

S(n)= 20000 * (1,01)ⁿ

4) Écrire de la même façon I(n) en fonction de n

5) a- Quelle est la nature des suites S(n) et I(n)  ?

b- Que peut-on déduire quant à la nature de la suite R(n) = S(n) - I(n) ?

6) Montrer que pour tout entier positif n, on a :

R(n+1)-R(n) = 200 * (1,01)ⁿ - 36 * (1,02)ⁿ

7) Montrer que R(n+1) < R(n) équivaut à n * ln(1,02/1,01) > ln(50/9)

8) Déterminer les entiers n qui vérifient l'inéquation ci-dessus

9) Que pouvez-vous en conclure ?