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Exercices suites complexes + algorithme
Bonjour, j'ai bientôt un devoir sur les complexes et notre prof nous a conseillé de faire l'exercice suivant :
PARTIE A
On considère la suite de nombres complexes (Zn) définie par:
Z0=1 et, pour tout entier supérieur ou égale à 1 : Zn=a^n
On sait que a= 1/2 + 1/2 i ; An désigne le point d'affixe Zn
1)
a) Déterminer la forme expo de a
b) calculer sous forme algébrique les 6 premiers termes de z1 à z6.
c) Dans un repère orthonormé d'unité graphique 8cm placer les sept points k, d'affixe zk pour k=0;1.....;6
2) Pour tout entier n on considère une forme expo de zn+1 - zn telle que :
zn+1-zn = re^iθ
a) calculer r0
b) Vérifier que pour tout n supérieur ou égale à 1:
Zn+1-Zn=a(Zn-Zn-1)
c) en déduire une relation entre rn et rn-1 pour tout entier supérieur ou égale à 1 puis exprimer rn en fonction de n.
d) Donner une interprétation géométrique de chaque nombre rn.
e) On pose Ln= sigma( en haut:k=n; en bas k=0) AkAk+1, la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs A1,A1,A2,...,An+1. Déterminer Ln en fonction de n, puis la limite de Ln quand n tend ver +infini.
Partie B
On considère l'algorithme ci-dessous :
•Variables:
n, p : entier
h, r, L, t : réels ;
•Début:
h <- 10^(- p)
r <- ("racine carrée de 2") / 2
L<- 0 ; n <- 0
TantQue r^n+1>h Faire
L <- L+ r^n+1 ; n <- n+1
FinTantQue ;
t <- partie entière(n/8)
Afficher(la longueur parcourue jusqu'au point ... est L) ;
Afficher(on a fait ... tours autour du point O);
Fin.
a. Expliquer ce que calcule cet algorithme et compléter les deux dernières phrases.
(la prof nous a conseillé de tester l'algo pour p=1)
b. Lorsque l'algorithme s'arrête, est-on sûr qu'il reste moins de h cm à parcourir sur la ligne polygonale ?
c. Modifier l'algorithme pour que, lorsqu'il s'arrête, la longueur parcourue soit proche à moins de h de la longue totale.
d. Programmer cet algorithme sur la calculatrice et déterminer le nombre de tours nécessaires pour une précision h= 10-6 . Cela change t-il par rapport au premier algorithme?
La partie A ne m'a posé aucun problème, cependant, j'ai un peu de mal avec l'algorithme. Je compte sur vous, pour pouvoir m'aider sur cette partie. Merci d'avance 
J'ai fait toute la partie A, et j'ai commencé la partie B ( avec l'algo) en effectuant celui-ci pour p=1, j'obtiens les résultats suivants :
n = 1
et L = (racine de 2)/2 soit ro
Je n'arrive cependant pas à mettre en relation la partie A avec l'algo 
*Quand je dis Ro, je fais référence à la première partie de l'exo
On notera que r>h
soit (racine de 2)/2 >10^-1
Mais ce que je comprends pas, c'est que r^n+1 sera toujours supérieur à h car c'est du style exponentielle?
En plus, j'ignore encore le lien de n,p,h, r et L avec t?
Bonjour,
Ton algorithme est incomplet
TantQue r^n+1>h Faire
L <- L+ r^n+1 ; n <- n+1
il manque le calcul pour r
si p=1 alors h=0,1
r0=√2/2 >0,1 OK donc le calcul s'effectue à condition de l'indiquer ...
et le dernier rn calculé sera proche de 0,1 ( inférieur à 0,1 )
Oui, c'est vrai merci.
Mais qu'est-ce qu'on peut en tirer de ce calcul pour la compréhension de l'algo svp?
Et j'ai pas bien compris quand vous avez dit le dernier rn sera proche de 0,1?
Vous voulez dire qu'on continue à faire l'algo sans modifier p? ( en calculant L et r et par ce fait n)
r^n+1>h tant que la longueur Rn est inférieur à 10^{-1}=0,1 l'algorithme calcule la longueur suivante de r
j'ai aussi rajouté une ligne pour avoir indiqué p
et la ligne qui calcule r on obtient ceci
***Algorithme lancé***
valeur de p=1
longueur parcourue L=2.2008252
nombre de tours complets=0
***Algorithme lancé***
valeur de p=6
longueur parcourue L=2.4142113
nombre de tours complets=4
tant que r^n+1>h ça veut pas dire tant que la longueur rn est supérieur à 10^-1?
Excusez-moi, mais je n'ai toujours pas compris à quoi sert cet algo?
tu as oublié la réponse à cette question
2d) Donner une interprétation géométrique de chaque nombre rn.
C'est dans la partie A que j'ai déjà faite.
Excusez-moi, mais je ne comprends pas ce que vous me dites.
Pour l'algorithme, pouvez-vous m'expliquer à quoi il sert svp?
oui ,c'est utile ici de savoir ce que représente rn
il sert à calculer la longueur de la ligne L
de toute façon il est incomplet ... puisqu'il manque la ligne qui permet le calcul des rn
et pour l'affichage
Afficher(la longueur parcourue jusqu'au point ... est L) ;
il manque aussi une ligne dans l'algorithme pour pouvoir préciser ce point .
donc as-tu recopié TOUTES les lignes données
de même pour la question c
c. Modifier l'algorithme pour que, lorsqu'il s'arrête, la longueur parcourue soit proche à moins de h de la longue totale.
definition de la longueur totale.???
est-ce la limite de Ln (2e) ?????
au sujet des tours , tu as du te rendre compte que les 6 premiers points tournent autour de O . t indique le nombres de tours effectués pour que A_nA_{n+1} soit proche de h
j'ai rajouté les lignes pour compléter l'affichage
***Algorithme lancé***
valeur de p=1
n=6
la longueur rn=0.088388348
longueur parcourue L=2.2008252
nombre de tours complets=0
***Algorithme lancé***
valeur de p=6
n=39
la longueur rn=9.5367432e-7
longueur parcourue L=2.4142113
nombre de tours complets=4
peut -être plus clair ....
J'ai recopié tout l'algo.
En ce qui concerne l'interprétation de rn, j'ai mis que ça correspondait au module de zn+1 - zn.
J'ai aussi remarqué que les 6 premiers points tournaient autour du point 0 car dans une autre autre question, on devait représenter graphiquement les 7 points Ak d'affixe zk pour k allant de 0 à 6.
en ce qui concerne : Afficher(la longueur parcourue jusqu'au point ... est L)
les " ..." sont ici volontairement car ils font l'objet d'une question ( " compléter les 2 dernières phrases")
du coup, il faut mettre : " la longueur parcourue jusqu'au point An+1 est L" ?
la longueur parcourue jusqu'au point An+1 est L" OK
sans préciser n je ne vois pas l'intérêt ...( ce n'est que mon avis)
as-tu rajouter la ligne qui permet le calcul sinon tu obtiens ceci :
***Algorithme lancé***
***Algorithme interrompu ligne 17 : dépassement de la capacité autorisée pour les boucles***
Excusez-moi, mais je ne vois pas de quelle ligne vous parlez :/
en plus, je ne vois pas à quoi correspond "h" dans cet algorithme?
et pour " on a fait ... tours autour du point O"
on peut donc dire que " on a fait la partie entière de n/8 tours autour du point O?
Et je ne comprends pas pourquoi on parle de tours alors que l'ensemble des points que j'ai représenté graphiquement : Ao, A1, A2... A6 ne décrivent pas un cercle de centre O?
pour les tours tu as compris
lecture de l'algorithme donné:
•Début:
h <- 10^(- p) ===> h est une longueur ( on peut lire h cm) si p=1 h=0,1cm si p=2 h=0,01 cm etc...
r <- ("racine carrée de 2") / 2 ==>longueur initiale de r_0 ( comme tu l'indiques )
L<- 0 ; n <- 0 ==> L = longueur initiale de la ligne L=0 et n=0 OK
TantQue r^{n+1}>h Faire tant que la longueur r_{n+1}> à la longueur h
L <- L+ r^n+1 ; n <- n+1 ===> L devient L+r_{n+1}
et n devient n+1 OK
FinTantQue ;
Excusez-moi je ne comprends pas pourquoi on parle de tours alors que l'ensemble des points que j'ai représenté graphiquement : Ao, A1, A2... A6 ne décrivent pas un cercle de centre O?
De manière générale, je ne comprends pas le lien entre le nombre de tours autour du point O et le calcul de Ln?
Si tu continuais à placer les points An alors tu tournerais autour de O
et les longueurs An deviendraient de plus en plus petites
les points ne sont pas sur un cercle , mais ils ne sont pas alignés.
tu obtiendrais "une spirale " les points étant de plus en plus près du point O
l'algorithme "corrigé" permet de calculer la longueur L sachant que le dernier segmentmesure moins de 0,1 cm si p=1
ensuite il donne une idée de la situation du point A_{n+1}
combien de tours autour du point O, on ferait si on devait placer le point.
A_{n+1} lorsque que la ligne mesure L cm
je commence un peu à comprendre mais ça reste encore flou ...
Pouvez-vous me ré expliquer cela et m'aider pour la question 3b svp?
d'abord as-tu rentré cet algorithme dans ta calculatrice ou Algobox?
pour ma part je n'ai pas de calculatrice programmable)
car avec Algobox il ne fonctionne pas tel qu'il est donné.
Vous parlez de quel algo? L'algo initial ou l'algo corrigé?
S'il s'agit de l'algo corrigé, je ne l'ai pas encore fait car cela fait l'objet de la dernière question
En ce concerne l'algo initial, je ne l'ai pas rentré dans ma calculatrice car notre prof nous a conseillé de le tester juste pour p=1 (à la main).
tu n'as pas compris qu'il manque un ligne de calcul si tu ne le modifies tu n'as aucune réponse. même à la main :
qu'obtiens -tu si tu essaies "à la main " avec ceci :
TantQue r^n+1>h Faire
L <- L+ r^n+1 ; n <- n+1
?????
Jusqu'à n=6, on a r^n+1>h
mais pour n = 6 on a : r^n+1<h
on a donc :
h=10^-1
r = (racine de 2)/2
L= ( 7 + racine de 7)/8
et (( racine de 2)/2)^7) = racine de 2/ 16 or 0.1> (racine de 2)/16
donc on a :
t = E(n/8)
t =E (6/8) = 0
la longueur parcourue jusqu'au point A7 est L
on a fait 0 tours autour du point 0.
d'où sort le 7 ???
je te montre ce que fait l'alogrithme ( si on lui indique la formule pour calculer rn( formule que tu as dû trouver dans la partie A)
#1 Nombres/chaines (ligne 9) -> n:0 | p:1 | h:0 | r:0 | L:0 | t:0
#2 Nombres/chaines (ligne 10) -> n:0 | p:1 | h:0.1 | r:0 | L:0 | t:0
#3 Nombres/chaines (ligne 11) -> n:0 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0 | t:0
#4 Nombres/chaines (ligne 12) -> n:0 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0 | t:0
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#5 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:0 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0.70710678 | t:0
#6 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:1 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0.70710678 | t:0
#7 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:1 | p:1 | h:0.1 | r:0.5 | L:0.70710678 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#8 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:1 | p:1 | h:0.1 | r:0.5 | L:1.2071068 | t:0
#9 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:2 | p:1 | h:0.1 | r:0.5 | L:1.2071068 | t:0
#10 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:2 | p:1 | h:0.1 | r:0.35355339 | L:1.2071068 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#11 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:2 | p:1 | h:0.1 | r:0.35355339 | L:1.5606602 | t:0
#12 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:3 | p:1 | h:0.1 | r:0.35355339 | L:1.5606602 | t:0
#13 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:3 | p:1 | h:0.1 | r:0.25 | L:1.5606602 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#14 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:3 | p:1 | h:0.1 | r:0.25 | L:1.8106602 | t:0
#15 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:4 | p:1 | h:0.1 | r:0.25 | L:1.8106602 | t:0
#16 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:4 | p:1 | h:0.1 | r:0.1767767 | L:1.8106602 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#17 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:4 | p:1 | h:0.1 | r:0.1767767 | L:1.9874369 | t:0
#18 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:5 | p:1 | h:0.1 | r:0.1767767 | L:1.9874369 | t:0
#19 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:5 | p:1 | h:0.1 | r:0.125 | L:1.9874369 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#20 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:5 | p:1 | h:0.1 | r:0.125 | L:2.1124369 | t:0
#21 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:6 | p:1 | h:0.1 | r:0.125 | L:2.1124369 | t:0
#22 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:6 | p:1 | h:0.1 | r:0.088388348 | L:2.1124369 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
#23 Nombres/chaines (ligne 19) -> n:6 | p:1 | h:0.1 | r:0.088388348 | L:2.1124369 | t:0
tu te rapproches ....
tu oublies que le programme calcule les termes les uns a la suite des autres
il connait r0 et il veut r1 puis r2 connaissant r1 etc
pui en même temps calcules la longueur L, segment par segment,
Euh autant pour moi, j'ai bien effectué les calculs de rn et je trouve exactement les même résultats que vous!
fautes de frappe ,je corrige
tu oublies que le programme calcule les termes les uns à la suite des autres
il connait r0 et il veut r1 puis r2 connaissant r1 etc
puis en même temps calculer la longueur L, segment par segment,
* mêmes
pour n = 6 par exemple,
j'ai r^n+1 = r^6+7 = r^7 soit ( racine de2/2)^7. Je suis bien passé par un calcul de rn?
mais pour arriver à n=6; je suis d'abord passer par n=1, puis n =2 et j'ai ré effectué les différentes étapes de l'algo jusqu'à ce que rn+1<h et pour cela j'ai été obligé de calculer, r1, r2 ... r6.
Je ne comprends pas très bien ce qui ne va pas?
je fais mettre ta formule
comme n est devenu n+1
j'ai rentré r devient r^n
et je te montre le résultat:
#1 Nombres/chaines (ligne 9) -> n:0 | p:1 | h:0 | r:0 | L:0 | t:0
#2 Nombres/chaines (ligne 10) -> n:0 | p:1 | h:0.1 | r:0 | L:0 | t:0
#3 Nombres/chaines (ligne 11) -> n:0 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0 | t:0
#4 Nombres/chaines (ligne 12) -> n:0 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0 | t:0
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#5 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:0 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0.70710678 | t:0
#6 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:1 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0.70710678 | t:0
#7 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:1 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:0.70710678 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#8 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:1 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:1.4142136 | t:0
#9 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:2 | p:1 | h:0.1 | r:0.70710678 | L:1.4142136 | t:0
#10 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:2 | p:1 | h:0.1 | r:0.5 | L:1.4142136 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#11 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:2 | p:1 | h:0.1 | r:0.5 | L:1.9142136 | t:0
#12 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:3 | p:1 | h:0.1 | r:0.5 | L:1.9142136 | t:0
#13 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:3 | p:1 | h:0.1 | r:0.125 | L:1.9142136 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
Entrée dans le bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE : condition vérifiée (ligne 14)
#14 Nombres/chaines (ligne 15) -> n:3 | p:1 | h:0.1 | r:0.125 | L:2.0392136 | t:0
#15 Nombres/chaines (ligne 16) -> n:4 | p:1 | h:0.1 | r:0.125 | L:2.0392136 | t:0
#16 Nombres/chaines (ligne 17) -> n:4 | p:1 | h:0.1 | r:0.00024414063 | L:2.0392136 | t:0
Sortie du bloc DEBUT_TANT_QUE/FIN_TANT_QUE (ligne 18)
#17 Nombres/chaines (ligne 19) -> n:4 | p:1 | h:0.1 | r:0.00024414063 | L:2.0392136 | t:0
Je trouve pas les mêmes résultats que vous par contre sur votre algo précédent j'ai les mêmes résultats que vous.
Désolé, mais tout ça m'a embrouillé et j'aimerais bien me ré expliquer à quoi sert cet algo et que vous m'aidiez pour les question b, c et d svp
j'ai zappé de deux messages..
Ak=Ak+1Ak OK
il faut bien mettre
r prend la valeur (√2/2)n+1 désolée et c'est OK
valeur de p=1
n=6
la longueur rn=0.088388348
longueur parcourue L=2.1124369
nombre de tours complets=0
J'entends bien mais est-ce que vous pourriez me donner une explication textuelle au lieu de me montrer votre algorithme svp?
a. Expliquer ce que calcule cet algorithme et compléter les deux dernières phrases.
(la prof nous a conseillé de tester l'algo pour p=1)
cet algorithme ,comme tu l'as tapé , ne calcule rien car il manque la ligne qui permet de calculer r:
r prend la valeur (√2/2)n+1 ligne qui doit être situé après ces deux lignes
L devient L+r
n devient n+1
les deux dernières phrases:
Afficher(la longueur parcourue jusqu'au point ... est L) ;
Si on veut préciser le point Ak+1
il faut compléter l'algorithme après la fin de tant que
afficher l'indice du point Ak+1 est"
afficher n
Afficher(on a fait ... tours autour du point O);
afficher t
b. Lorsque l'algorithme s'arrête, est-on sûr qu'il reste moins de h cm à parcourir sur la ligne polygonale ?
c'est Ak+1Ak<h
Sachant que la limite de la ligne polygonale est de
si p=1 alors
c. Modifier l'algorithme pour que, lorsqu'il s'arrête, la longueur parcourue soit proche à moins de h de la longue totale.
il faut modifier la condition du tant que
teste l'algorithme pour avoir la réponse
on te demande si la longueur trouvée L, quand p =1, est telle que
L - L<h
Lmax étant celle que tu as calculée en 2e)
Pour démontrer cette égalité, on calcule alors "L max - L"?
Mais du coup, on remplace la valeur de L que l'on a trouvé dans la q1 pour n=6?
Lmax =limite de L (voir 2e)
et L est la valeur donnée par l'algorithme pour p=1
ainsi tu auras la réponse à la question b de la partie B
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