Enoncé :
Pour tout entier n, on considère la fonction fn définie sur par :
fn(x)= ex/[enx(1+ex)]
Soit la suite (Un) définie, pour tout entier naturel n, par :
1
Un = fn(x)dx
0
1). Montrer que U0= ln(1+e/2)
2). Montrer que U0+U1=1. En déduire U1.
3). Montrer que la suite u est positive.
4). On pose k(x)=fn+1(x) + fn(x).
a). Montrer que, pour tout x réel :
k(x)= 1-ex/[enx(1+ex)]
b). Etudier le signe de k(x) pour x [0;1].
c). En déduire que la suite (Un) est décroissante.
5). a). Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :
Un-1 + Un = (1-e-(n-1))/(n-1).
b). Calculer U2.
6). Soit (Vn) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 par Vn = (Un-1 + Un)/2
a). Calculer la limite de Vn quand n tend vers +.
b). Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :
0Un
Vn
c). En déduire la limite de Un quand n tend vers +.
Mes réponses :
1). On remplace n par 0, puis on calcule l'intégrale, et on trouve bien que U0= ln(1+e/2)
1
2). On remplace U0 et U1 par leur intégrale, ensuite avec la linéarité de l'intégrale on a ex +1/ex+1 dx 0
C'est donc égale à l'intégrale de 1, qui vaut 1.
D'où u1 = 1-ln(1+e/2).
3). J'ai essayé de faire une récurrence en posant Pn : Un0.
Mais je n'arrive pas à aboutir à une solution.
4). a). Il suffit de calculer la différence fn+1 - fn, et on trouve bien après calcul la solution attendue.
b).Signe de k(x) :
on a enx strictement supérieur à 0.
De même pour 1+ex. Donc k(x) est du signe de 1-ex.
On trouve après calcul que :
pour x=0, k(x)=0 et pour x0, k(x)
0 sur [0;1].
b). Par contre je n'arrive pas à en déduire que Un est décroissante.
5). a).j'ai essayé de caluler l'intégrale de fn-1+fn mais je suis bloqué pour trouvé une primitive de la fonction que je trouve après simplification des deux fonctions (par linéarité de l'intégrale).
b). Je n'arrive pas à calculer U2 à partir de Un, sans doute faut-il utiliser le résultat précédent?
6).
a). Après calcul, je trouve que la limite de v en + est égale à 0.
b). Je n'arrive pas non plus à démontrer le résultat de cette question, j'ai également essayé de faire un raisonnnement par récurrence, mais je suis bloqué.
c). Je pense qu'il faille utiliser le théorème des gendarmes :
0Un
Vn
lim 0= 0 (quand n tend vers +infini)
lm Vn=0 (quand n tend vers + infini)
D'où on peut ainsi dire que lim Un= 0 (quand n tend vers +).
bonsoir
1 et 2 juste
3) c'est simple
fn(x)=exp(x)/exp(nx)(1+exp(x)) >0 donc Int(0à1)fn(x)>=0
4) a) Ok
b)ok
c) je pense que c'est k(x)=fn+1(x) - fn(x)
auquel cas tu as
k(x)<=0 donc Int(0à1)(k(x))<=0
comme Int(0à1)(k(x))=Int(0à1)fn+1(x)-Int(0à1)fn(x)
=U(n+1)-Un
donc
Int(k(x))<=0 ==>U(n+1)-Un<=0
donc Un est décroissante
voila pour un début
Ah ba oui, c'est simple en fait , merci.
J'utilise dans la 3). la linéarité de l'intégrale pour séparé les intégrales de Un+1 et de Un, et je trouve bien Un+1Un.
Désolé pour double post,
mais sinon comment je fais pour démontrer les questions 5).a). et 6).b). , sachant que j'ai essayé par récurrence sans rien trouver.
Sinon j'ai réussi à calculer u2 qui vaut
u2=(-2e-1/e)+ln(1+e/2)
pour le 5a) c'est une calcul direct sans utiliser la récurrence
f(n-1)(x)+fn(x)=[e^x/(e^x+1)][1/e^(n-1)x + 1/e^nx]
=[e^x/e^nx(e^x+1)](e^x+1)
=e^x/e^nx
=e^(1-n)x
donc en intégrant de 0 à 1
U(n-1)+Un=Int(0à1)(e^(1-n)x)dx
=(1/(1-n))[e^(1-n)-1]
=(1-e^(1-n)/(n-1)
6b) ici tu fais une récurrence
montre que U2<=V2 ça c'est du calcul je te le laisse
suppose que Un<=Vn
nous alons montrer que U(n+1)<=V(n+1)
U(n+1)-V(n+1)= 2V(n+1)-Un -V(n+1) ; car Un+U(n+1)=2V(n+1) par définition de V
=V(n+1)-Un
=(Un+U(n+1))/2 -Un
=(Un+U(n+1)-2Un)/2
=(U(n+1)-Un)/2
<=0 ; car Un est décroissante
donc U(n+1)<=V(n+1)
donc
qq soit n>=2 Un<=Vn
d'après 3) Un>=0 qq soit n
donc
qq soit n>=2 0<=Un<=Vn
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