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Exercices sur les intégrales avec suites

Posté par
camus11
31-03-10 à 20:25

Enoncé :

Pour tout entier n, on considère la fonction fn définie sur par :

fn(x)= ex/[enx(1+ex)]

Soit la suite (Un) définie, pour tout entier naturel n, par :
        1
Un = fn(x)dx
        0
1). Montrer que U0= ln(1+e/2)
2). Montrer que U0+U1=1. En déduire U1.
3). Montrer que la suite u est positive.
4). On pose k(x)=fn+1(x) + fn(x).
a). Montrer que, pour tout x réel :
                k(x)= 1-ex/[enx(1+ex)]
b). Etudier le signe de k(x) pour x [0;1].
c). En déduire que la suite (Un) est décroissante.

5). a). Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :

                Un-1 + Un = (1-e-(n-1))/(n-1).
b). Calculer U2.

6). Soit (Vn) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 par Vn = (Un-1 + Un)/2
a). Calculer la limite de Vn quand n tend vers +.
b). Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :

                              0UnVn

c). En déduire la limite de Un quand n tend vers +.

Mes réponses :

1). On remplace n par 0, puis on calcule l'intégrale, et on trouve bien que U0= ln(1+e/2)
                                                                                                                                1
2). On remplace U0 et U1 par leur intégrale, ensuite avec la linéarité de l'intégrale on a ex +1/ex+1 dx                                                                                                                            0
C'est donc égale à l'intégrale de 1, qui vaut 1.
D'où u1 = 1-ln(1+e/2).

3). J'ai essayé de faire une récurrence en posant Pn : Un0.
Mais je n'arrive pas à aboutir à une solution.

4). a). Il suffit de calculer la différence  fn+1 - fn, et on trouve bien après calcul la solution attendue.
b).Signe de k(x) :

on a enx strictement supérieur à 0.
De même pour 1+ex. Donc k(x) est du signe de 1-ex.

On trouve après calcul que :
pour x=0, k(x)=0 et pour x0, k(x)0  sur [0;1].

b). Par contre je n'arrive pas à en déduire que Un est décroissante.

5). a).j'ai essayé de caluler l'intégrale de fn-1+fn mais je suis bloqué pour trouvé une primitive de la fonction que je trouve après simplification des deux fonctions (par linéarité de l'intégrale).

b). Je n'arrive pas à calculer U2 à partir de Un, sans doute faut-il utiliser le résultat précédent?

6).
a). Après calcul, je trouve que la limite de v en + est égale à 0.

b). Je n'arrive pas non plus à démontrer le résultat de cette question, j'ai également essayé de faire un raisonnnement par récurrence, mais je suis bloqué.

c). Je pense qu'il faille utiliser le théorème des gendarmes :

0UnVn
lim 0= 0 (quand n tend vers +infini)
lm Vn=0 (quand n tend vers + infini)

D'où on peut ainsi dire que lim Un= 0 (quand n tend vers +).

Posté par
nadia2305
re : Exercices sur les intégrales avec suites 31-03-10 à 20:31

pr 3) comme fn est posetif car e^x est tjr posetif d'ou son integral est +

Posté par
nadia2305
re : Exercices sur les intégrales avec suites 31-03-10 à 20:34

comme k(x) negatif  alors fn+1< fn dou lintegral de fn+1 < lintegral de fn  sig Un+1 < Un

Posté par
watik
re : Exercices sur les intégrales avec suites 31-03-10 à 20:43

bonsoir

1 et 2 juste

3) c'est simple
fn(x)=exp(x)/exp(nx)(1+exp(x)) >0 donc Int(0à1)fn(x)>=0

4) a) Ok
b)ok

c) je pense que c'est k(x)=fn+1(x) - fn(x)
auquel cas tu as
k(x)<=0 donc Int(0à1)(k(x))<=0
comme Int(0à1)(k(x))=Int(0à1)fn+1(x)-Int(0à1)fn(x)
                    =U(n+1)-Un
donc
Int(k(x))<=0 ==>U(n+1)-Un<=0
donc Un est décroissante

voila pour un début

Posté par
camus11
re : Exercices sur les intégrales avec suites 01-04-10 à 09:10

Ah ba oui, c'est simple en fait , merci.
J'utilise dans la 3). la linéarité de l'intégrale pour séparé les intégrales de Un+1 et de Un, et je trouve bien Un+1Un.

Posté par
camus11
re : Exercices sur les intégrales avec suites 01-04-10 à 19:47

Désolé pour double post,
mais sinon comment je fais pour démontrer les questions 5).a). et 6).b). , sachant que j'ai essayé par récurrence sans rien trouver.
Sinon j'ai réussi à calculer u2 qui vaut
          u2=(-2e-1/e)+ln(1+e/2)

Posté par
watik
re : Exercices sur les intégrales avec suites 01-04-10 à 20:24

pour le 5a) c'est une calcul direct sans utiliser la récurrence

f(n-1)(x)+fn(x)=[e^x/(e^x+1)][1/e^(n-1)x + 1/e^nx]
               =[e^x/e^nx(e^x+1)](e^x+1)
               =e^x/e^nx
               =e^(1-n)x
donc en intégrant de 0 à 1
U(n-1)+Un=Int(0à1)(e^(1-n)x)dx
         =(1/(1-n))[e^(1-n)-1]
         =(1-e^(1-n)/(n-1)

6b) ici tu fais une récurrence

montre que U2<=V2  ça c'est du calcul je te le laisse

suppose que Un<=Vn
nous alons montrer que U(n+1)<=V(n+1)

U(n+1)-V(n+1)= 2V(n+1)-Un -V(n+1)   ; car Un+U(n+1)=2V(n+1) par définition de V
             =V(n+1)-Un
             =(Un+U(n+1))/2  -Un
             =(Un+U(n+1)-2Un)/2
             =(U(n+1)-Un)/2
             <=0   ; car Un est décroissante

donc U(n+1)<=V(n+1)
donc
qq soit n>=2 Un<=Vn
d'après 3) Un>=0 qq soit n
donc
qq soit n>=2 0<=Un<=Vn

Posté par
camus11
re : Exercices sur les intégrales avec suites 01-04-10 à 21:54

Merci bien pour ces explications.
J'ai bien compris



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