Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale IntégrationTopics traitant de Intégration [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x

Posté par
shouliga 22-05-13 à 13:51

Bonjour à tous, voila mon énoncé : On a une fonction f définie sur [0;/2] et prolongée en continuité en 0, avec f_n(x)=\frac{sin[(n+1)x]}{x} .
De plus, on a \forall{n\ge1} , U_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_n(x)\, \mathrm dx .
Il faut prouver que Un existe. Je précise que ce n'est pas un devoir ni quoi que ce soit, j'essaie juste de me familiariser avec les intégrales impropres, merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 14:05

Bonjour

Le seul problème éventuel de f_n est en 0. Si tu as montré qu'on peut la prolonger par continuité en 0, il n'y a plus de problème... c'est l'intégrale d'une fonction continue!

Posté par
rijksre : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 14:05

Bonjour,

La fonction est continue pour x [0;/2]. Elle est donc intégrable, donc Un existe.

Posté par
shouligare : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 14:49

Merci beaucoup, et dans le cas où on l'étudie sur [0;+] ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 14:53

Oh, là c'est une autre histoire... Elle converge, mais je ne crois pas que ce soit abordable sans théorèmes plutôt élaborés!

Posté par
Glapion Moderateurre : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 14:59

Et la limite de Un (pour l'intégrale entre 0 et pi/2) pour n tendant vers l'infini semble être /2.

Posté par
Camélia Correcteurre : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 15:04

Salut Glapion! Elle l'est! le changement de variable y=(n+1)x ramène à \int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx=\dfrac{\pi}{2} (la suite es constante)!

Mais le calcul de l'intégrale est une autre histoire!

Posté par
spikere : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 15:11

Salut Camélia,

Avec le changement de variable, on n'obtient pas : U_n=\int_0^{(n+1)\pi/2}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx qui converge bien vers \int_0^{\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx=\dfrac{\pi}{2}

Posté par
Camélia Correcteurre : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 15:14

Salut spike
J'ai fait une coquille! je voulais dire qu'après changement de variable on a

\int_0^{\infty}\dfrac{\sin((n+1)x)}{x}\,dx=\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx=\dfrac{\pi}{2}

Posté par
Glapion Moderateurre : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 15:16

Bonjour Camelia,
Mais c'est plutôt \int_0^{\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx qui vaut /2 non ?

Et puis Wolfram donne une solution comme ça qui n'a pas l'air d'être constante ?
Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x
En fait le changement de variable donne bien sin y/y mais les bornes deviennent 0 et (n+1)/2 donc la suite n'est pas constante. Cela dit la limite est bien \int_0^{\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx=\dfrac{\pi}{2} donc c'est sans doute ce que tu voulais dire en fait.

Posté par
spikere : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 15:17

Ah oui en effet

Posté par
Glapion Moderateurre : Existence Intégrale de sin[x*(2n+1)] /x 22-05-13 à 15:17

OK, je n'avais pas vu les posts de Spike et ta réponse Camélia. On est donc tous bien d'accord.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1760 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !