Bonjour
Pour la 2, je te conseil de dévelloper tes carrés, tu devrai facilement retrouvé ensuite

Ha non, je crains que ça ne suffise pas.

Le problème avec ces inégalités style olympiade, c'est qu'il faut connaître des théorèmes. Par exemple pour (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²≥4/3 il faut connaître soit l'inégalité de Jensen (convexité) soit Cauchy-Schwatz).

Prenons Cauchy-Schwartz, ça dit

(vectoriellement c'est simple à comprendre :


Donc appliquons ça en écrivant 3[(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²]=(1²+1²+1²)[(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²] ≥ [1(a-1)+1(b-1)+1(c-1)]² = (a+b+c-3)² = 2²= 4 et donc [(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²] ≥ 4/3

mais bien comprendre tout ça en seconde, ça n'est pas gagné

Pour faire avancer le premier. On s'intéresse à c-a-b (on veut montrer que c'est positif)
on peut écrire que c-a-b > ab-a-b et pour montrer que c'est positif, on est donc ramené à montrer que le produit de deux nombres entiers est toujours plus grand ou égal que leur somme (on va les prendre >1 et traiter le cas a=b=1 à part)

N'y a t' il pas de méthode plus ou moins facile? Je ne demande pas des solutions miracles? Mais des procédés étudiés en seconde voir plutôt en troisième... Parce que la je vous assure que je n'ai rien compris à ces deux théorèmes, (enfin j'ai compris le théorème et son application) Mais je ne pourrais pas l'employer alors qu'on ne l'a jamais vu en cours   Pour ce qui est du premier,comment montrer que le produit de deux nombres entiers est toujours plus grand ou égal que leur somme?
Et Merci.

Pour la seconde, non je ne vois pas de procédé simple.

Pour la première, oui, montrer que le produit de deux nombres entiers >1 est plus grand que leur somme, ça n'est pas bien compliqué. Si l'un vaut a et l'autre x, que penses-tu de la fonction f(x)=ax-(a+x), on peut l'écrire f(x)=(a-1)x-a
c'est donc une fonction affine et son coefficient directeur a-1 est positif, elle est donc croissante.
Et f(2)=a-2 qui est 0 donc pour tout x supérieur à a elle reste positive puisqu'elle est croissante, et donc ax-(a+x) 0 ax a+x

Une petite démonstration facile à comprendre pour la 2 :

On dessine la parabole d'équation y=(x-1)² et on choisit 3 points sur la courbe A;B;C d'abscisse a;b;c tels que a+b+c=1
on s'intéresse au centre de gravité du triangle ABC. On peut facile calculer les coordonnées de G par la formule
on trouve G(1/3;[(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²]/3)
Ensuite on sait que la parabole est tournée vers le haut et que G est forcement à l'intérieur du triangle ABC, donc on peut dire que G est forcement au dessus du point de la courbe de même coordonnée. Or f(1/3)=4/9 donc on peut écrire que
[(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²]/3 ≥ 4/9 (a-1)²+(b-1)²+(c-1)² ≥ 4/3

Demat

L'inégalité de Cauchy-Schwartz évoquée par Glapion dans sa belle démonstration peut être démontrée à partir de notions du programme de seconde voire troisième. Pour preuve :



(je n'ai pas écrit les termes qui s'annulent : )

je continue :


Bon, d'accord, ce ne doit pas être usuel en seconde.

Je remarque que dans la première égalité que j'ai écrite il manque à la fin .
Il figurait pourtant dans l'aperçu, mystère de Latex.

Bonjour
il ne manque rien ... tu n'aurais pas un écran pas très large, ou une résolution pas terrible ?
les formules LaTeX à rallonge, ce n'est pas géant pour les micro écran : pas de passage à la ligne automatique pour s'adapter à la largeur de l'affichage de l'utilisateur
ici sur l'île, les passages à la ligne sont interprétés comme tels : il suffit d'en insérer un de temps en temps pour obliger la formule à passer sur deux lignes.
Je t'en insère un pour que tu voies l'ensemble de ton égalité

Demat

Merci Lafol. Mon écran n'est en effet pas très large, un vieux Lenovo sous XP. Il va falloir que je le change.

Kenavo

Demat et kenavo, mais pas trugarez ? d'un autre côté,

extrait de la FAQ du forum :

Q26 - Pourquoi dois-je écrire mon message dans un français correct ? Pourquoi le langage SMS est-il interdit sur l'Île ?

Ce forum est francophone. Chacun doit s'y exprimer dans un français correct, avec le minimum de fautes d'orthographe et de grammaire. A fortiori, le "langage SMS" y est interdit. Pourquoi ?

1. C'est d'abord une question de politesse. Dans un forum, on cherche à être compris par le plus grand nombre. Or le "dénominateur commun" à tous les Mathîliens, en plus des mathématiques, est le français. Il n'y a aucune raison d'obliger les Mathîliens à un déchiffrement pénible des messages, en particulier quand on demande de l'aide.

2. C'est aussi une question d'efficacité. Les messages clairs permettent d'être compris et d'obtenir une réponse plus facilement et plus rapidement. Il faut savoir que la plupart des Mathîliens désireux d'aider les autres évitent les fils (sujets) où les messages contiennent trop de fautes d'orthographe ou, pire, sont écrits en "langage SMS". En effet, ils viennent d'abord sur le site pour faire des mathématiques et pas pour perdre du temps à corriger mentalement une multitude de fautes pour "traduire" les messages en français, afin de comprendre le problème posé. Dans ce cas, ils passent tout simplement leur chemin.

3. C'est enfin tout simplement une règle de ce forum, que chacun doit respecter.

Bonjour à tous.

Il ne faut pas perdre de vue un point important : a et b sont des entiers naturels.

On a donc dans ce cas:
(a - 1)*(1 - b) <= 0
a - 1 -ab + b <= 0
a + b <= ab + 1
donc si ab < c
on a bien a + b <= c

Je n'ai pas le temps immédiatement de chercher le point 2.
Peut-être l'un d'entre vous peut exploiter cette idée.

Mais je vois que pour la question 2, a, b et c sont des réels,
mon idée n'est donc pas la bonne pour cette question.

De retour.

a+b+c = 1
(a-1) + (b-1) + (c-1) = -2
[(a-1) + (b-1) + (c-1)]^2 = 4
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2(a-1)(b-1) + 2(b-1)(c-1) + 2(c-1)(a-1) + (a-1) + (b-1) + (c-1) = 4
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2(a-1)(b-1) + 2(b-1)(c-1) + 2(c-1)(a-1) = 6
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2ab + 2bc + 2ca - 2(a+b+c) = 0
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2

Comme a, b et c sont tous positifs et a+b+c = 1, le plus petit des trois (disons a) est <= 1/3
donc 2ab > 2a^2 de même pour 2bc et 2ac
2ab + 2bc + 2ca >= 6a^2

(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 >= 2 - 6*a^2
a <= 1/3
6*a^2 <= 6/9 = 2/3
-6*a^2 >= -2/3

D'où le résultat recherché :
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 >= 2 - 2/3
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 >= 4/3

Sauf erreur de calcul (je fais tout de tête par absence de papier)

Ca parait quand même bien difficile (mais pas impossible) en fin de seconde.

Pour la 1ère :
Si on a: a,b,c qui appartiennent à l'intervalle [2;+LINFINI[. On aura donc : ab<c  implique
B<c/a et A<c/b
A+B < (c/a) +(c/b)
A+B<c(1/a + 1/b )
Et puisque A>2 et B>2
(1/a)<(1/2) et (1/b)<(1/2)
C(1/a + 1/b ) <c
A+B<C

plus de six ans après ....