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Niveau seconde
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Exo assez difficiles

Posté par
supermaths
11-05-14 à 13:04

Bonjour, j'ai deux exercices auxquels je bloque énormément, et j'aimerai que vous puissiez éclaircir ma lanterne en m'aidant à y trouver une réponse.
Les voici.

1) a, b et c sont des nombres entier naturels non nuls tel que ab<c
   Montrez que : a+b≤c

2) a,b et c sont des nombres réels positifs, tel que que a+b+c=1
   Montrer que (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²≥4/3

J'ai du mal à trouver l'astuce me permettant de les résoudre, je vois qu'ils sont assez dur quand même :/

Merci pour vos éventuelles contributions.

Posté par
piloupilou
re : Exo assez difficiles 11-05-14 à 16:18

Bonjour
Pour la 2, je te conseil de dévelloper tes carrés, tu devrai facilement retrouvé ensuite

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exo assez difficiles 11-05-14 à 18:20

Ha non, je crains que ça ne suffise pas.

Le problème avec ces inégalités style olympiade, c'est qu'il faut connaître des théorèmes. Par exemple pour (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²≥4/3 il faut connaître soit l'inégalité de Jensen (convexité) soit Cauchy-Schwatz).

Prenons Cauchy-Schwartz, ça dit
Exo assez difficiles
(vectoriellement c'est simple à comprendre :
Exo assez difficiles

Donc appliquons ça en écrivant 3[(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²]=(1²+1²+1²)[(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²] ≥ [1(a-1)+1(b-1)+1(c-1)]² = (a+b+c-3)² = 2²= 4 et donc [(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²] ≥ 4/3

mais bien comprendre tout ça en seconde, ça n'est pas gagné

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exo assez difficiles 11-05-14 à 19:18

Pour faire avancer le premier. On s'intéresse à c-a-b (on veut montrer que c'est positif)
on peut écrire que c-a-b > ab-a-b et pour montrer que c'est positif, on est donc ramené à montrer que le produit de deux nombres entiers est toujours plus grand ou égal que leur somme (on va les prendre >1 et traiter le cas a=b=1 à part)

Posté par
supermaths
re 11-05-14 à 19:53

N'y a t' il pas de méthode plus ou moins facile? Je ne demande pas des solutions miracles? Mais des procédés étudiés en seconde voir plutôt en troisième... Parce que la je vous assure que je n'ai rien compris à ces deux théorèmes, (enfin j'ai compris le théorème et son application) Mais je ne pourrais pas l'employer alors qu'on ne l'a jamais vu en cours   Pour ce qui est du premier,comment montrer que le produit de deux nombres entiers est toujours plus grand ou égal que leur somme?
Et Merci.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exo assez difficiles 11-05-14 à 22:48

Pour la seconde, non je ne vois pas de procédé simple.

Pour la première, oui, montrer que le produit de deux nombres entiers >1 est plus grand que leur somme, ça n'est pas bien compliqué. Si l'un vaut a et l'autre x, que penses-tu de la fonction f(x)=ax-(a+x), on peut l'écrire f(x)=(a-1)x-a
c'est donc une fonction affine et son coefficient directeur a-1 est positif, elle est donc croissante.
Et f(2)=a-2 qui est 0 donc pour tout x supérieur à a elle reste positive puisqu'elle est croissante, et donc ax-(a+x) 0 ax a+x

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exo assez difficiles 12-05-14 à 11:26

Une petite démonstration facile à comprendre pour la 2 :
Exo assez difficiles
On dessine la parabole d'équation y=(x-1)² et on choisit 3 points sur la courbe A;B;C d'abscisse a;b;c tels que a+b+c=1
on s'intéresse au centre de gravité du triangle ABC. On peut facile calculer les coordonnées de G par la formule \vec{OG}=\dfrac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}
on trouve G(1/3;[(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²]/3)
Ensuite on sait que la parabole est tournée vers le haut et que G est forcement à l'intérieur du triangle ABC, donc on peut dire que G est forcement au dessus du point de la courbe de même coordonnée. Or f(1/3)=4/9 donc on peut écrire que
[(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²]/3 ≥ 4/9 (a-1)²+(b-1)²+(c-1)² ≥ 4/3

Posté par
Armen
re : Exo assez difficiles 12-05-14 à 14:35

Demat

L'inégalité de Cauchy-Schwartz évoquée par Glapion dans sa belle démonstration peut être démontrée à partir de notions du programme de seconde voire troisième. Pour preuve :

(a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2)-(aa'+bb'+cc')^2= \\ =a^2b'^2+a^2c'^2+b^2a'^2+b^2c'^2+c^2a'^2+c^2b'^2-2aa'bb'-2aa'cc'-2bb'cc'

(je n'ai pas écrit les termes qui s'annulent : a^2a'^2, b^2b'^2, c^2c'^2)

je continue :
=(ab'-ba')^2+(ac'-ca')^2+(bc'-cb')^2 \geq 0

Bon, d'accord, ce ne doit pas être usuel en seconde.

Posté par
Armen
re : Exo assez difficiles 12-05-14 à 14:38

Je remarque que dans la première égalité que j'ai écrite il manque à la fin -2bb'cc'.
Il figurait pourtant dans l'aperçu, mystère de Latex.

Posté par
lafol Moderateur
re : Exo assez difficiles 13-05-14 à 09:23

Bonjour
il ne manque rien ... tu n'aurais pas un écran pas très large, ou une résolution pas terrible ?
les formules LaTeX à rallonge, ce n'est pas géant pour les micro écran : pas de passage à la ligne automatique pour s'adapter à la largeur de l'affichage de l'utilisateur
ici sur l'île, les passages à la ligne sont interprétés comme tels : il suffit d'en insérer un de temps en temps pour obliger la formule à passer sur deux lignes.
Je t'en insère un pour que tu voies l'ensemble de ton égalité

Posté par
Armen
re : Exo assez difficiles 13-05-14 à 12:26

Demat

Merci Lafol. Mon écran n'est en effet pas très large, un vieux Lenovo sous XP. Il va falloir que je le change.

Kenavo

Posté par
lafol Moderateur
re : Exo assez difficiles 13-05-14 à 13:35

Demat et kenavo, mais pas trugarez ? d'un autre côté,

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q26 - Pourquoi dois-je écrire mon message dans un français correct ? Pourquoi le langage SMS est-il interdit sur l'Île ?

Posté par
bvdts
re : Exo assez difficiles 13-05-14 à 15:09

Bonjour à tous.

Il ne faut pas perdre de vue un point important : a et b sont des entiers naturels.

On a donc dans ce cas:
(a - 1)*(1 - b) <= 0
a - 1 -ab + b <= 0
a + b <= ab + 1
donc si ab < c
on a bien a + b <= c

Je n'ai pas le temps immédiatement de chercher le point 2.
Peut-être l'un d'entre vous peut exploiter cette idée.

Posté par
bvdts
re : Exo assez difficiles 13-05-14 à 15:12

Mais je vois que pour la question 2, a, b et c sont des réels,
mon idée n'est donc pas la bonne pour cette question.

Posté par
bvdts
re : Exo assez difficiles 13-05-14 à 18:26

De retour.

a+b+c = 1
(a-1) + (b-1) + (c-1) = -2
[(a-1) + (b-1) + (c-1)]^2 = 4
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2(a-1)(b-1) + 2(b-1)(c-1) + 2(c-1)(a-1) + (a-1) + (b-1) + (c-1) = 4
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2(a-1)(b-1) + 2(b-1)(c-1) + 2(c-1)(a-1) = 6
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2ab + 2bc + 2ca - 2(a+b+c) = 0
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2

Comme a, b et c sont tous positifs et a+b+c = 1, le plus petit des trois (disons a) est <= 1/3
donc 2ab > 2a^2 de même pour 2bc et 2ac
2ab + 2bc + 2ca >= 6a^2

(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 >= 2 - 6*a^2
a <= 1/3
6*a^2 <= 6/9 = 2/3
-6*a^2 >= -2/3

D'où le résultat recherché :
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 >= 2 - 2/3
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 >= 4/3

Sauf erreur de calcul (je fais tout de tête par absence de papier)

Ca parait quand même bien difficile (mais pas impossible) en fin de seconde.

Posté par
Jiko7
re : Exo assez difficiles 15-10-20 à 00:21

Pour la 1ère :
Si on a: a,b,c qui appartiennent à l'intervalle [2;+LINFINI[. On aura donc : ab<c  implique
B<c/a et A<c/b
A+B < (c/a) +(c/b)
A+B<c(1/a + 1/b )
Et puisque A>2 et B>2
(1/a)<(1/2) et (1/b)<(1/2)
C(1/a + 1/b ) <c
A+B<C

Posté par
lafol Moderateur
re : Exo assez difficiles 15-10-20 à 23:30

plus de six ans après ....



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