Bonjour !
Les droites D et P' ont pour représentations paramétriques :
D : ( x=2-3t où t appartient à |R
( y=1+t
( z=-3+2t
D' : ( x= 5+2t' t' € R
( y= 2t'
( z= -5-t'
Montrer qu'il existe un plan P, et un seul plan contenant D et D'. Déterminer une équation cartésienne de ce plan.
voilà merci de votre aide, car je m'en sors vraiment pas
Une manière parmi d'autres.
Recherche pour voir si D et D' sont concourantes.
2 - 3t = 5 + 2t'
1 + t = 2t'
-> 2 - 3t = 5 + 1 + t
4t = -4
t = -1
t' = 0
z de D pour t = -1 -> ZD = -3-2 = -5
z de D' pour t = -1 -> ZD' = -5-0 = -5
-> D et D' ont le point (5 ; 0 ; -5) en commun.
D et D' sont concourantes et définissent donc un et un seul plan.
Soit x + Ay + Bz + C = 0 l'équation de ce plan.
un point de ce plan a pour coordonnées(5 ; 0 ; -5)
Un autre point de D (par exemple pour t = 0) -> point (2 ; 1 ; -3) est aussi dans le plan.
Un autre point de D' (par exemple pour t' = 1) -> point (7 ; 2 ; -6) est aussi dans le plan.
On a alors le ystème:
5 - 5B + C = 0
2 + A - 3B + C = 0
7 + 2A - 6B + C = 0
résolu, ce système donne: A=-0,2 ; B = 1,6 et C = 3
Equation du plan: x - 0,2y + 1,6z + 3 = 0
Ou encore:
5x - y + 8z + 15 = 0
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Sauf distraction.
Une autre manière de faire :
à la vue des équations paramétriques, on voit que D est dirigée par le vecteur de coordonnées (-3;1;2) et que D' est dirigée par le vecteur de coordonnées (2;2;-1)
A la vue des coordonnées de ces deux vecteurs il est clair qu'ils ne sont pas colinéaires (non proportionnalité des coordonnées) donc définissent un plan (vectoriel).
Le point A(t=0) de coordonnées (2;1;-3) appartient à D.
il ne passe qu'un seul plan, parallèle au plan vectoriel trouvé ci-dessus et passant par A, celui défini comme étant l'ensemble des point M tels que :
ce qui s'écrit en projetant sur les axes du repère :
(L1)
(L2)
(L3)
de L2 on déduit que
en remplaçant dans L1 et L3
on obtient :
(L1)
(L2)
en faisant L1-L2 on obtient
et en rempalçant dans L2 on obtient :
soit
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