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Exo : Caractérisation d un plan

Posté par Kyra (invité) 01-04-05 à 17:09

Bonjour !

Les droites D et P' ont pour représentations paramétriques :
D : ( x=2-3t    où t appartient à |R                  
      ( y=1+t                                                                
      ( z=-3+2t                                                            

D'  : ( x= 5+2t'                 t' € R
       ( y= 2t'
       ( z= -5-t'
Montrer qu'il existe un plan P, et un seul plan contenant D et D'. Déterminer une équation cartésienne de ce plan.

voilà merci de votre aide, car je m'en sors vraiment pas  

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Exo : Caractérisation d un plan 01-04-05 à 17:42

Une manière parmi d'autres.

Recherche pour voir si D et D' sont concourantes.

2 - 3t = 5 + 2t'
1 + t = 2t'

-> 2 - 3t = 5 + 1 + t
4t = -4
t = -1
t' = 0

z de D pour t = -1 -> ZD = -3-2 = -5
z de D' pour t = -1 -> ZD' = -5-0 = -5

-> D et D' ont le point (5 ; 0 ; -5) en commun.
D et D' sont concourantes et définissent donc un et un seul plan.

Soit x + Ay + Bz + C = 0 l'équation de ce plan.

un point de ce plan a pour coordonnées(5 ; 0 ; -5)
Un autre point de D (par exemple pour t = 0) -> point (2 ; 1 ; -3) est aussi dans le plan.
Un autre point de D' (par exemple pour t' = 1) -> point (7 ; 2 ; -6) est aussi dans le plan.

On a alors le ystème:
5 - 5B + C = 0
2 + A - 3B + C = 0
7 + 2A - 6B + C = 0

résolu, ce système donne: A=-0,2 ; B = 1,6 et C = 3

Equation du plan: x - 0,2y + 1,6z + 3 = 0
Ou encore:

5x - y + 8z + 15 = 0
-----
Sauf distraction.  

Posté par
dad97 Correcteur
re : Exo : Caractérisation d un plan 02-04-05 à 12:04

Une autre manière de faire :

à la vue des équations paramétriques, on voit que D est dirigée par le vecteur \vec{u} de coordonnées (-3;1;2) et que D' est dirigée par le vecteur \vec{v}de coordonnées (2;2;-1)

A la vue des coordonnées de ces deux vecteurs il est clair qu'ils ne sont pas colinéaires (non proportionnalité des coordonnées) donc définissent un plan (vectoriel).

Le point A(t=0) de coordonnées (2;1;-3) appartient à D.

il ne passe qu'un seul plan, parallèle au plan vectoriel trouvé ci-dessus et passant par A, celui défini comme étant l'ensemble des point M tels que :

\vec{AM}=k\vec{u}+k^'\vec{v}

ce qui s'écrit en projetant sur les axes du repère :
x-2=-3k+2k^' (L1)
y-1=k+2k^' (L2)
z+3=2k-k^' (L3)

de L2 on déduit que k=y-1-2k^'
en remplaçant k dans L1 et L3

on obtient :
x-2=-3y+3+8k^' (L1)
z+3=2y-2-5k^' (L2)

en faisant L1-L2 on obtient k^'=\frac{1}{3}(x+y+z)

et en rempalçant k^' dans L2 on obtient :

z+3=2y-2-\frac{5}{3}x-\frac{5}{3}y-\frac{5}{3}z

soit 4$\rm\blue\fbox{5x-y+8z+15=0}

Salut



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