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exo de DM pour lundi assez cho (nivo sup a term s)
voici l'exo 3 de mon dm et je doit dire qu'il paose bcp de pbs a tte ma classe (le prof nous fait du cours qui est hors programe com par ex la fonction arc sin que je n'avai jms entendu parlé lors de ma premiere term!)
voila l'enoncé:
1. Montrer que pour chaque reel n superieur ou egal a 2, l'equation x+x^2+...+x^n=1 a une solution unique qu'on ne chgerche pa a calculer dans [0,1]. On la notera Rn (on poura noter Fn la fonction x: x+x^2+...+x^n)
2.Demontrer que la suite r de terme general Rn, definie sur N*-{1} est strict. decroissante. (comparer Fn(Rn) à Fn(Rn+1)
3.a) montrer que pour tt entier naturel n superieur ou egal a 2, Rn^n+1=2Rn-1
b) Utiliser 2. pour montrer que Rn+1 infouegal R2^n+1 pour tt entier naturel n sup ou egal a 2 et en deduire la convergence de la suite R; preciser sa limite
1.
- Fn est continue (fonction polynôme)
- Fn(x) est croissante strictement sur [0,1]: en effet, en dérivant, on tombe sur un polynôme de degré n-1 où tous les coeffs sont >0 d'où le signe >0 de la dérivée. (faire une récurrence si tu doutes).
- On remarque maintenant que:
Fn(0) = 0 pour tout n
Fn(1) = n pour tout n (récurrer si besoin)
Maintenant, comme n>1, on a grâce au théorème de la valeur intermédiaire (ou th de la bijection... appelle ça comme dans ton cours) que Fn a une solution unique sur [0,1]
2.
Fn+1(Rn+1)=1 donc Fn(Rn+1) + Rn+1n+1 = 1
Fn(Rn)=1 donc Fn(Rn+1)-Fn(Rn) = -Rn+1n+1
La solution Rn+1 étant positive, le membre de droite est négatif et par croissance stricte de Fn on a bien la décroissance de (Rn)
3.
a)
Rn est solution de Fn(x)=1 ce qui donne
Rn+Rn²+...+Rnn=1
Multiplions par Rn:
Rn²+Rn3+...+Rnn+1=Rn
On rajoute Rn:
Rn+Rn²+...+Rnn+1=2Rn
Or les n premiers termes sont égaux à 1 donc
1+Rnn+1=2Rn (ouf)
b)
Pas clair ton inégalité fait gaffe où tu places les indices et exposants.
est polynôme donc continue sur R en particulier sur
, d'après le théorème des valeurs intermédiaires,
prend toutes les valeurs entre
et
puisque
donc l'équation
admet au moins une solution dans
. Par ailleurs, la stricte croissance de
sur
(
) suffit à affirmer que
est bijective et donc que la solution est unique.
On a pour tout
et
donc
ce qui entraîne puisque
est strictement croissante que
et donc que la suite
est décroissante
On a pour tout et
d'où l'égalité demandée
Enfin, de ce qui précède on tire de la décroissance de la suite
donc que
et de la stricte croissance de
sur
que
; on a donc
or donc
donc
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