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Niveau Maths sup
Exo Khôlle arithmétique
Posté par infophile
Bonsoir 
J'étais en train de jeter un oeil à ma feuille d'exos d'arithmétique, et il y en a un qui a été posé à l'X en MP et je ne vois pas où est le piège 
Citation :
Montrer que pour tout nombre premier p, il existe un entier naturel n tel que 6n²+5n+1=0[p]
Montrer que pour tout nombre premier p, il existe un entier naturel n tel que 6n²+5n+1=0[p]
Donc p doit diviser 6n²+5n+1.
On traite le cas p=2 alors en prenant n=1 ça marche car 2 divise bien 6*1²+5*1+1 = 12.
Donc maintenant p est impair, on écrit alors 6n²+5n+1 = (2n+1)(3n+1).
La facteur (2n+1) est impair pour tout n entier naturel, donc il suffit de choisir n de telle sorte que 2n+1 = p.
Je suis passé à côté de quelque chose ? Ca me paraît trop simple pour que ça soit ça...
Merci
Bonsoir Camélia
Sur ma feuille il n'y a que ça.. mais bon tu as raison ça ne doit être qu'un extrait parce que bon, c'est l'X quoi 
Désolé du dérangement, merci et bonne soirée !
Si quelqu'un connaît la suite de l'exo je suis preneur.
Salut
Ca marche même pour p naturel quelconque. Je l'avais posté en défi il y a longtemps tu peux faire une recherche!
Déjà pour les p impairs c'est réglé (voir ci-dessus).
p|(2n+1)(3n+1) avec (3n+1)^(2n+1) = 1 (euclide)
donc p|(2n+1) ou p|(3n+1)
Si p est pair alors p|(3n+1)..
Je vais y réfléchir mais là j'suis crevé ^^
Non je n'ai pas le lien, je regarderai dans mes messages, mais ça risque de prendre un peu de temps, je le ferai demain!
Oué reste à montrer qu'il existe toujours un n (impair) tel que 3n+1 soit multiple de p, ça doit pas être bien méchant
Salut Kévin,
Night me l'avait posé dans les "exos tordus" de Noel de l'an dernier et je l'ai reposé en défi. Faudrait chercher dans les débuts du forum "détente".
Au fait, hier, je t'ai raconté nawak. L'injectivité ne suffit pas puisque G n'est pas a priori fini.
Bonjour à tous
Une solution brute de décoffrage, peut-être à simplifier (voir même à corriger?) :
avec
et b entier impair.
1er cas: si a est pair.
b et 2a sont premiers entre eux, on utilise alors les restes chinois pour exhiber deux entiers naturels t et s tels que:
2ème cas: si a est impair.
On utilise cette fois les restes chinois pour exhiber deux entiers naturels t et s tels que: