Bonjour à tous!
je dois résoudre l'exercice suivant:
pour tout n
soit k une racine nieme de l'unité
Pour tout z, démontrer que:
zk=(z-k)
(J'espere que c'est a peu près lisible).
En fait j'ai essayé de distinguer le cas z=1 et z différent de 1 le membre de gauche étant une somme de termes d'une suite géométrique de raison k et le membre de droite étant la factorisation zn-1/(z-1). Mais le cas z=1 ne donne rien du tout (j'ai tenté de mettre 1 sous la forme d'une exponentielle complexe puis d'utiliser la formule d'Euler sans succès).
On m'a ensuite conseillé d'étudier l'égalité en multipliant par z-1 ce qui permettrait d'étudier un produit plutot qu'une fraction, ce que je ne comprends pas car cela revient a multiplier par 0 et perdre ainsi l'équivalence...
Voila voila merci d'avance de votre aide! =)
salut
je ne comprends pas :: c'est simplement la factorisation de ton polynome ...
soit w une racine n-ième de l'unité ...
ensuite si z = w = 1 c'est faux ....
Bonjour,
En fait w=exp(2i/n) je me suis mal exprimé. Donc w n'est jamais égal à 1, puisque k n'est ni égal à 0, ni égal à n.
L'égalité marche pour z=1, et c'est cela qui est surprenant.
s=(zn-1)/(z-1) ?
D'accord pour le cas z différent de 1: on obtient directement ce que l'on veut. Mais cette formule ne vaut pas pour z=1 non?
@DHilbert
effectivement, j'ai fait cela. Reste a demontrer que l'égalité est vérifiée pour z=1, ce qui est moins évident.
L'ensembles des racines -ièmes de l'unité n'est-il pas
?
Par suite, as-tu remarqué que le second membre de ton identité est
et non
A +
@carpediem
désolé mais je ne vois pas en quoi cela change le raisonnement
@Dhilbert
J'ai bien remarqué cela, et cela permet en développant le produit de polynomes d'obtenir (zn-1)/(z-1) ce qui est égal a la somme des termes d'une suite géométrique (membre de gauche), à condition seulement que z différent de 1, car on a z-1 au dénominateur. C'est la que ca coince.
Mais je n'ai peut-etre pas compris ta remarque.
Oh oui tout juste j'ai oublié de multiplier par le premier terme de la suite...Malheureusement cela ne m'avance pas...
tu remarqueras que le produit de gauche commence à k = 1 donc w^k ne peut être 1 donc c'est le produit des z - racines n-ième de l'unité différente de 1 ...
le second membre vaut donc (zn - 1)/(z - 1) ....
Il y a effectivement une erreur dans une expression: dans la somme de gauche, k varie de 0 a n-1. Meme probleme pour z=1...
bon alors :::
w n'est pas un ...
si z n'est pas un 1 chacun des deux membres est (zn - 1)/(z - 1)
justification ::
premier membre :: suite géométrique
deuxième membre : racine n-ième de l'unité
si z = 1
le premier membre est n ...
que vaut le deuxième mebre ??
il faut bien que tu travailles un peu tout de même ...
Pour tout
Soit une indéterminée. L'identité résulte alors de ce que les racines du polynôme ne sont autres que toutes les racines -èmes de l'unité, y compris . D'où l'identité voulue.
A +
En factorisant par la demi-somme et en utilisant la formule d'Euler, le deuxieme membre devient un produit d'exponentielles complexes et de sinus, mais j'ai l'impression de m'égarer...
Bien entendu, même pour , ce qui est normal !!
Pour tout , l'on a finalement :
Voilà, c'est tout !
A +
Tu auras remarqué que j'ai pris le soin de perndre dans . Maintenant se pose la question de savoir si l'on a encore l'égalité pour . Et on l'a ! Pourquoi ?
A +
Le terme de gauche devient n, mais je n'arrive pas a retomber sur mes pieds pour le membre de droite
Ma question de départ portait en fait pour le cas z=1. J'ai réussi a faire le cas plus général avec des méthodes similaires aux votres. =)
pour z=1 j'ai tenté la formule d'Euler.
Le colleur (car c'était un exo de colle) m'a dit que ce que je faisais pour z=1 permettait de démontrer qu'un produit de sinus et d'exponentielles était égal à n une fois seulement que l'on connait le résultat demandé...
on veut démontrer que (1 - wk) = n avec 0 < k < n
tout d'abord les racines n-ième sont conjuguées par conséquent le produit est réel ...
d'autre part en désignant z' le conjugué de z qui est donc son inverse alors (1 - z)(1 - z') = -(z + z') = -2cos(2kpi/n)
l'astuce est d'alors de multpiplier le produit par sin(2pi(n-1)/n)
Merci
j'ai étudié cette piste et j'obtiens une différence de sinus pour (1-z)(1-z') dont je ne sais pas quoi faire. Je ne peux pas utiliser la formule sinp + sinq car j'ai un facteur 2 devant l'un des sinus. Je ne vois pas tres bien en quoi consiste votre astuce
Merci de votre patience =)
passe par la formule de l'angle double .....
cos(2t) = ....
et écrit le produit complet avec l'indice k et ses bornes ....
Pour réunir les racines deux a deux j'ai commencé par distinguer la parité de n
n impair donne n-1 pair et la borne supérieure du produit devient (n-1)/2
on a alors le produit de 4sin²(k/n)*sin[2(n-1)/n]
ou bien 4sin²(k/n)*[cos(2/n)-sin(2/n)]
il m'est difficile de te répondre de tête ....
nul besoin de distinguer la parité car si n est pair la seule autre racine réelle est -1
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