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Exo : nombres réels

Posté par Orion_LC (invité) 31-12-06 à 12:10

Bonjour, je suis encore bloqué dans un exo, mais pas du même type que celui que j'ai posé précédemment...

Soit theta appartenant à R. ON souhaite étudier le nombres de rationnels r = p/q, (p,q) appartenant à Z x N* qui vérifient l'inéquation
(*)     0 < |theta - p/q| < 1/q²

1) On suppose que (*) admet une infinité de solutions. On veut montrer que theta est irrationnel.

a) Soit r = p/q appartenant à Q avec q appartenant à N*, (r différent de théta). Montrer que : |theta - r| < 1/q².

(déjà... la première question... )

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exo : nombres réels 31-12-06 à 13:39

Bonjour,

1)a) Je ne comprends pas bien.

r vérifie-t-il (*) ? Dans ce cas, cette question me semble triviale.
r est-il quelconque ? Dans ce cas, cela me semble faux. Prendre par exemple theta=0, r=1 p=1 q=1

Nicolas

Posté par Orion_LC (invité)re : Exo : nombres réels 31-12-06 à 14:17

Pardon.. ma distraction m'a fait écrire une énorme bourde dans l'énoncé...

Montrer que |theta - r| est supérieur ou égal à 1/(bq)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exo : nombres réels 31-12-06 à 16:00

Je ne comprends toujours pas. Qui est b ?

Posté par Orion_LC (invité)re : Exo : nombres réels 31-12-06 à 16:09

Oula, faut que j'arrête le champagne moi !
En fait, on veut raisonner par l'absurde et prouver que theta est irrationnel. On pose alors theta = a/b avec a appartenant à Z et b appartenant à N*

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exo : nombres réels 31-12-06 à 16:33

|\theta-r|=\left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right|=\frac{|aq-bp|}{bq}

|aq-bp| est un entier naturel.
Or ce nombre n'est pas nul. Sinon r serait égal à \theta.
Donc |aq-bp|\ge 1
Et : \fbox{|\theta-r|\ge\frac{1}{bq}}

Posté par Orion_LC (invité)re : Exo : nombres réels 31-12-06 à 16:37

Euh... justement, il vient de là mon problème : pourquoi |aq - pb| >(ou égal) 1 ? Comment le déduit-on ?

Posté par Orion_LC (invité)re : Exo : nombres réels 31-12-06 à 16:38

Je suis désolé, mais j'ai omis le détail important que aq - pb était un entier naturel....
Bon, je vais pouvoir continuer mon exo.

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exo : nombres réels 31-12-06 à 16:41

aq - pb est en effet un entier relatif comme somme et produit d'entiers relatifs.
Donc |aq-pb| est un entier naturel.


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