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Exo récurrence

Posté par
RFire26
02-11-20 à 10:22

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice de récurrence.

Énoncé : Soient a et b deux nombres réels. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n 1 :

(a+b)n={\sum_{k=0}^{n}{}}(k parmi n) an-kbk

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exo récurrence 02-11-20 à 11:16

Bonjour,
Commence par l'initialisation.

Posté par
RFire26
re : Exo récurrence 02-11-20 à 11:20

En initialisation j'ai fais :
n=0 donc (0 parmi 0)=1 et après j'ai fais (a+b)0=1 l'initialisation est prouvée

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exo récurrence 02-11-20 à 11:22

Citation :
pour tout entier n 1

Posté par
RFire26
re : Exo récurrence 02-11-20 à 11:27

Donc ducoup 1 est bien égal a 1 c'est bon ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exo récurrence 02-11-20 à 11:30

En notant \; P(n) \; pour l'égalité \; (a+b)n={\sum_{k=0}^{n}{}}(k parmi n) an-kbk ,
l'initialisation, c'est démontrer P(1).

Posté par
RFire26
re : Exo récurrence 02-11-20 à 11:38

P(1) = (a+b)1={\sum_{k=0}^{1}{}}(0 parmi 1)a1-0b0
=a+b=1 = a

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exo récurrence 02-11-20 à 11:51

A rédiger autrement :
D'une part (a+b)1 = ...
D'autre part {\sum_{k=0}^{1}{}}(k parmi 1)a1-kbk = ...
Donc P(1) est vérifié.

P(1) n'est pas égal à a+b.
P(1) est une proposition qui s'écrit sous forme d'une égalité.

Citation :
a+b=1 = a
\;

Posté par
RFire26
re : Exo récurrence 02-11-20 à 18:20


* Modération > Citation inutile effacée. *

Donc (a+b)1=a+b et \sum_{k=0}^{1}{}(k parmi 1)a1-kbk= a ??

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exo récurrence 02-11-20 à 18:31

Quand on écrit \sum_{k=0}^{1}{}, ça signifie " somme de k = 0 à k = 1" ; donc une somme de 2 termes :
Le 1er où on remplace k par 0.
Le 2nd où on remplace k par 1.

Posté par
RFire26
re : Exo récurrence 02-11-20 à 19:24

Donc dans le cas où on remplace k par 1 ça donne {\sum_{k=1}^{1}{}}(1 parmi 1)a1-1b1 on obtient b et l'inégalité est bien vérifiée daccord



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