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exo simple: equation plan et representation paramètrique droite

Posté par
Léa 2000
13-01-07 à 10:30

Bonjour,

Je bloque deux exercices simples, mais j'ai des difficultés

Exercice 1:
On considère le cube ABCDEFGH (voir image du cube)où  I est milieu de [EF] et J le centre de la face ADHE.

On rapporte l'espace au repère (A;\vec{AB};\vec{AD};\vec{AE})

Dire si les affirmations sont vraies ou fausses:
1/L'ensemble des points M(x;y;z) tel que y=-x+41 est le plan (DBH)
2/ Le plan (AIG) est l'emble des points M (x;y;z) tels que: 2x-y-z=0
3/La droite (BJ) est orthogonale au plan (AIG).

Voici ce que j'ai fait:

j'ai trouver les coordonnées à partir du cube:

A(0;0;0)
B(1;0;0)
C(1;1;0)
D(0;1;0)
E(0;0;1)
F(1;0;1)
G(1;1;1)
H(0;1;1)

La question 1 je n'ai pas trouver
la question2, je ne suis pas sûr:

Je connais la formule de l'équation plan:
\vec{u}.;\vec{AM}=0
ax+by+cz+d=0

J'ai calculer les vecteurs AG; AI, IG, AM:

AG(1;1;1)
AI(1/2;0;1/2)
IG(1/2;1;1/2)
AM(x;y;z)

Là je ne sais plus quoi faire.


Exercice 2:

On considère la droite d intersection des deux plans d'équations cartésiennnes:
x+z=2 et x+y+z=0

Dire si les affirmations sont vraies ou fausses en justifiant votre réponses:

(A) La droite d passe par le point (o;1;2).
(B) la droite d a pour système paramètrique:

x=k+1
y=-2k, k appartient à R
z=-k+1

(C) Le vecteur \vec{u} (1;-2;-1) est un vecteur directeur de la droite d.
(D) La droite d est orthogonale au plan d'équation cartésienne x+y-z=2

J'ai essayé mais je n'arrive pas, pouvez-vous me donner quelques indications?

Merci de votre aide
Léa 2000

exo simple: equation plan et representation paramètrique droite

Posté par
Léa 2000
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 13-01-07 à 10:32

petit correction pour l'exo 1 question 1:L'ensemble des points M(x;y;z) tel que y=-x+1 est le plan (DBH)

Posté par
raymond Correcteur
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 13-01-07 à 13:00

Bonjour.

Exercice 1.

1°) Tu as deux méthodes.
a) : tu regardes si les points D, B, H vérifient y = -x + 1. Si c'est vrai alors, y = -x + 1 est bien une équation du plan (DBH).
b) Tu écris que le plan (DBH) a une équation du type ax + by + cz + d = 0. Ensuite tu remplaces successivement x, y, z par les coordonnées de D, B, H. Cela te donne un système :
a + d = 0
b + d = 0
b + c + d = 0
Tu en tires : a = -d et b = -d et c = 0.
Donc : -dx - dy + d = 0. En simplifiant par -d, on trouve effectivement y = -x + 1

2°) Tu peux procéder exactement comme pour 1°). On trouve dans les deux cas : 2x - y - z = 0.

3°) Cette dernière équation te donne un vecteur normal au plan (AIG) : \vec{n} \ (2, -1, -1)
Ensuite, tu as J(1/2, 0, 1/2) et B(1, 0, 0). Cherche les coordonnées de \vec{BJ}. Si tu trouves un vecteur colinéaire à \vec{n}, alors la droite (BJ) est orthogonale au plan (AIG). Sinon, c'est faux.

Je te laisse prendre contact avec tout cela. A plus RR.

Posté par
Léa 2000
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 14-01-07 à 10:02

J'ai essayé:

1/vecteurs:
DB(1;-1;0)
DH(0;0;1)

M (x;y;z) point quelconque.
vecteurs:
DM=aDB+bDH, a et b appartient à R

x=a*1+b*0
y=a*(-1)+b*0
z=a*0+b*1


x=a
y-1=-a
z=b

x=a
y-1=-1*x
z=b


x=a
y=-x+1
z=b

Donc vrai


2/vecteurs:

AI(1/2;0;1/2)
AG(1;1;1)

M (x;y;z) point quelconque.
vecteurs:
D
AM=aAI+bAG, a et b appartient à R

x=a*(1/2)+b*1
y=a*(0)+b*1
z=a*(1/2)+b*1


x=1/2a+b
y=b
z=1/2a+b

x=1/2a+y
y=b
z=1/2a+y

Là je bloque.

Posté par
raymond Correcteur
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 14-01-07 à 10:06

Tu as fait une erreur dans les coordonnées de I 1/2 , 0 , 1)
A plus RR.

Posté par
Léa 2000
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 14-01-07 à 10:12

vecteurs:

AI(1/2;0;1/2)
AG(1;1;1)

M (x;y;z) point quelconque.
vecteurs:
D
AM=aAI+bAG, a et b appartient à R

x=a*(1/2)+b*1
y=a*(0)+b*1
z=a*(1)+b*1


x=1/2a+b
y=b
z=1a+b

x=1/2a+y
y=b
z=1a+y

Là je bloque pour trouver une équation plan, comment faire?
merci

Posté par
raymond Correcteur
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 14-01-07 à 10:17

x=1/2a+b => 2x = a + 2b => 2x = b + (a + b) => 2x = y + z
y=b
z=a+b

A plus RR.

Posté par
Léa 2000
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 14-01-07 à 10:26

3/ coordonnées du vecteur BJ (-1/2;0;1/2)
après je fais comment?

Posté par
raymond Correcteur
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 14-01-07 à 10:35

Dans mon premier message, j'ai fait une erreur de frappe : c'est plutôt J(0,1/2,1/2).
Alors vecteur(BJ) : (-1,1/2,1/2) est bien colinéaire au vecteur normal au plan (AIG) : (2,-1,-1).
Donc, c'est vrai (BJ) est perpendiculaire au plan (AIG).

A plus RR.

Posté par
Léa 2000
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 14-01-07 à 10:45

une question comment avez vous trouvez vecteur normal au plan (AIG) : (2,-1,-1).?

Posté par
raymond Correcteur
re : exo simple: equation plan et representation paramètrique dr 14-01-07 à 10:55

C'est un résultat du cours : si un plan a pour équation ax + by + cz + d = 0, alors, un vecteur normal à ce plan est le vecteur n(a,b,c).
A plus RR.



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