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exo sur fonction et suites

Posté par
lancelot23236
03-10-21 à 14:48

Bonjour et merci de prendre le temps de me lire,
j'ai un exo de math que je ne comprend pas et qu'il faut que je comprenne absolument pour me préparer au ds.
voila l'éxo;

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de la suite (Un)n>1 définie par Un= (1+(1/n)^n

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x )= exp^x-x-1

1°)  a) Etudier les variations de la fonction f .
b) En déduire que : ∀𝑥 ∈ℝ , 𝑓(𝑥)≥0.
2°)  Justifier  brièvement  que :  pour  tout  entier  naturel  n  non  nul,  la  fonction x--> x^n est
strictement  croissante  sur ]0; +infini[ et  que  la  fonction x--1/x^n est  strictement  décroissante  sur ]0; +infini[
.
3°) En déduire, à l'aide de 1°), les inégalités ( 1) ( 2)  et suivantes :
Pour tout entier naturel n non nul : (1 ) exp^(n/1)> strictement 1+(1/n) puis que (2 )exp^(-1/(n+1)) > strictement à 1-(1/(n+1))

4°)  a) En utilisant (1 )et 2°), démontrer que pour tout entier naturel n non nul : (1+(1/n))^n<strictement exp


b) En utilisant (2 )et 2°), démontrer que pour tout entier naturel n non nul : esp <strictment (1+(1/n))^(n+1)

5°) Déduire des questions précédentes un encadrement de  (1+(1/n))^(n+1) puis lim un lorsque n-> +inifni



pour la 1a j'ai trouvé la dérivée qui est esp^x-1 et j'ai dis que elle etait négative pour x<o et positive pour x>0 donc que f(x) est décroissante lorsque x appartient à -infini 0 et croissante sur 0 + infini.

Pour la b je l'ai démontrée en faisant une inéquation: e^x-x-1> 0 ssi e^x-1>x donc comme e^x-x-1 est une soustraction, quelque soit x appartenant à r, e^x-x-1 >0
cependant je me doute que c'est faux puisque je ne déduit pas ca de la question 1

pour la 2 comprend tout à fait que c'est vraie mais je ne sais pas comment le prouver (hérédité peut être ?)

pour la 3,4, 5 je suis en train de chercher

merci d'avoir prix le temps de me lire en esperant que vous m'aidiez.

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:24

Bonjour : pour le 1)b , la question est "deduire", donc utilise la tableau de variation.

Posté par
lancelot23236
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:34

je rectifie; je viens de comprendre la b de la question 1, j'ai fini par mettre: comme f est strictement décroissante sur ] 0; +infini[ et strictement croissante sur ]-infini;0[, g admet un minimum en 0 et pour tout réel x, f(x) >strictement g(o) = f(x) >strictement à 0

Posté par
lancelot23236
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:35

merci philgr22 pour ta réponse

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:35

Oui et pour x=0?

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:36

Pourquoi fais tu intervenir une fonction g?

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:37

Pour la 2), resultat de cours....

Posté par
lancelot23236
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:37

c'est une faute de frappe désolé

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:38

D'accord mais attention à l'inégalité demandée qui est large et non stricte.

Posté par
lancelot23236
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:41

ok merci, pour la 2) dans mon cour on me dis que la lim n^k  lorsque n tend ver l'infini est égale à plus l'infini seulement on ne me montre pas pourquoi elle est strictement croissante

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:43

Non tu te trompes de fonction : ce n'est pas une exponentielle mais une puissance de x

Posté par
lancelot23236
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 15:59

je pourrais dire que comme x>1 alors, quelque soit n appartenant à N, x'->x^n > 0 donc la fonction puissance est croissante ?

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 16:04

Attention : x n'est pas >1 . Ne confond pas les exposants et les variables. Une fonction puissance ,pour x positif est ....  

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 16:05

Pardon ,j'ai oublié : puissance d'exposant positif.

Posté par
lancelot23236
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 16:08

croissante

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 16:10

Tout simplement .
ne confond pas nxqui est une fonction exponentielle de x et xnqui est une puissance de x

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 16:11

Ici tu derives simplement la fonction puissance ...

Posté par
philgr22
re : exo sur fonction et suites 03-10-21 à 16:35

Pour les questions 3  , pense que ce sont des "déductions" des questions précédentes. Par contre ,complète l'énoncé de la 4...



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