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Exo sur les Nombres entiers naturels
Posté par Aketo (invité)
Bonjour, je prépare le CRPE et je suis inscrit au CNED. J'ai un devoir à rendre en math.
Voici un des exercices:
On appelle A l"ensemble des nombres entiers naturels ayant la particularité suivante : quand on les divise par 2, ou par 3, ou par 4, ou par 5, ou par 7, ou par 11, il reste 1 à chaque fois.
Prouver que 13861 est un élément de A. On posera toutes les opérations utiles sur la copie.
J'ai posé les divisions euclidiennes, 13861/2, 13861/3, ... 13861/11 et il reste 1 à chaque fois. Cela suffit-il pour prouver que 13861 appartient à A ?
Merci d'avance pour vos réponse !
Bonjour Aketo
Effectivement, cela suffit pour conclure puisque c'est la définition de l'ensemble A.
Kaiser
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
Ok ! Merci pour ta réponse rapide Kaiser. Ca me paraissait trop simple pour être la bonne réponse.
J'ai une autre question. Les nombres qui appartiennent à A sont-ils tous forcément impairs ? en effet, ensuite, on me pose la questions suivante : On suppose que le nombre entier N est un élément de A. Dire pourquoi N-1 est un multiple de 4620.
Je serai tenté par répondre que les nombres entiers de A sont impairs. Donc si N appartient à A, N est impair. Et N-1 pair. De plus, 4620 est pair donc il accepte N-1 comme multiple.
Cette réponse serait elle valable ?
Là par contre, ça ne va plus.
Ce n'est pas parce que deux entiers x et y sont pairs que l'un divise l'autre.
De plus, tu n'as pas montré que N était nécessairement impair.
Kaiser
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
Ah oui ! N n'est pas forcément impair. Si je divise 10 par 2 il reste 0 et si je divise 10 par 3 il reste 1. 10 n'appartient donc pas à A ....
Aurais tu des pistes pour m'aider à ma reflexion ?
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
j'ai beau chercher je ne trouve pas ! A n'est n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 7, ni par 11.
Est ce que qu'il y a un rapport avec les nombres premiers ?
non.
Considérons un entier n quelconque appartenant à A, alors par définition, n s'écrit sous la forme :
n=2a+1
n=3b+1
n=4c+1
n=5d+1
n=7e+1
n=11f+1
où a, b, c, d, e, et f sont des entiers.
Es-tu d'accord avec moi ?
kaiser
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
n-1=2a
n-1=2b
n-1=4c
n-1=5d
n-1=7e
n-1=11f ??
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
N-1 est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 7 et par 11. Il n'a pas de reste !!
C'est bien ça.
En particulier, N-1 est pair et non impair.
Mieux encore, par quoi est-il divisible ?
Kaiser
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
S'il est pair, il est divisible par 2, par 4, et par 5 s'il se termine par 0.
Oui mais encore.
Il faut utiliser N-1 est divisible par tous les entiers 2,3,4,5,7 et 11.
En fait, ici, le but sera de démontrer que N-1 est divisible par 4620.
Kaiser
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
4620=4x1000 +6x100 +2x10
4620=2x2x5x5x2x5x2 +3x2x5x5x2 +2x5
4620 se décompose avec 2, 3 et 5 ....
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
oui oui ! je me suis précipité
4620 : 2^2 x 3 x 5 x 7 x 11
Mais maintenant que je sais que 4620 se décompose ainsi, quelle est la suite du raisonnement. Comment répondre à la question "Dire pourquoi N-1 est multiple de 4620" ?
On sait que N-1 est divisible par 3, par 4, par 5, par 7 et par 11.
Or ces 5 entiers sont deux à deux premiers entre eux, donc N-1 est divisible par leur produit, c'est-à-dire 4620.
Kaiser
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
Ok !!! merci beaucoup pour ton aide.
Là je réponds à ma dernière question et je te la poste pour savoir si elle est correcte.
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
Le nombre 0 est il un élément de A ? j'ai mis : Non, car le quotien de 0 par n'importe quel entier donne 0.
Le nombre 1 est il un élément de A ? j'ai mis : Non, car il n'a qu'un seul diviseur qui est 1.
Enfin, on me demande : trouver le plus petit nombre de A compris entre 1 000 000 et 2 000 000. Et là ... je bloque .....
OK, pour 0.
Pas d'accord pour 1.
Pour la 3ème question, on a déjà établi une condition sur N (qui est d'ailleurs, nécessaire et suffisante).
Kaiser
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
Pour 1 c'est donc oui ... 1/n (n étant un entier) à pour reste 1. C'est ça ?
Pour la 3ème question je réfléchis : il faut que le nombres soit décomposable avecles facteurs premiers 2, 3, 5, 7 et 11 ?
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
Faut-il y aller par tatonnement ou bien y a t-il une technique plus rapide pour ce genre d'exercice ?
La condition dont je te parlais est le fait que N-1 est divisible par 4620 et il me semble que c'est nécessaire et suffisant.
Kaiser
Posté par Aketo (invité)re : Exo sur les Nombres entiers naturels
Oui j'en ai tenu compte mais je ne trouve pas. Je vais abandonner pour ce soir. Je réfléchirai dessus demain. Là j'ai dépassé mon quota de math à la journée ! 
En tout cas merci pour ton aide ! Bonne soirée !