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Exo sympa
Posté par Cauchy
Bonjour,
un petit exo sympa, montrer que tout nombre possède un multiple qui ne s'écrit qu'avec des 0 et des 1.
Bonne recherche 
Tiens, un élève de Terminale ayant l'option Spé maths l'avait posé récemment il me semble!
Ca n'a pas l'air simple, surtout en Terminale! 
Tu connais déja la solution ?
Je sais pas si c'est simple pour un terminale je suis plus en terminale 
Surement qu'en terminale j'aurais pas trouvé 
Non, j'avais un peu cherché mais sans grand succès.
Alors pour me rassurer, j'ai arrêté de chercher
Comme ça je peux me dire que vu que c'est de niveau Terminale, en y consacrant 5 minutes de plus j'aurais probablement trouvé!
Tigweg
Le niveau ca veut pas dire grand chose aussi on peut faire des exos tres durs avec des moyens élémentaires et des exos simples avec beaucoup de bagage théorique.
Pour trouver tu aurais pu continuer à chercher aussi
En fait je viens de m'apercevoir qu'il y avait un truc qui clochait dans ma démo il faut que je peaufine ca lol
Ma démo sur les transpositions m'a épuisé!
En plus je vais encore devoir me lever aux aurores demain matin pour finir de préparer mes cours 
Salut fusionfroide!
Citation :
Comme quoi, ce forum est bien une drogue
Comme quoi, ce forum est bien une drogue
Oui, je le crains bien, en ce qui me concerne!
Tigweg
Posté par nazzzzdaq (invité)re : Exo sympa
Soit n un entier, on va construire un multiple A de n ne s'écrivant qu'avec des 0 ou des 1.
on considère
G={1, 10, 10²....10^(n²-1)}
Card(G)=n², donc il existe au moins n éléments {a1,a2 ..., an} de G ayant la même classe d'équivalence a dans Z/nZ. (tiroirs de Dirichlet).
Je construit A de la façon suivante:
A=a1+a2+..+an
Dans Z/nZ
A=n.a=n.0=0
A est divisible par n et ne s'écrit qu'avec des 0 ou des 1
Bonjour à tous!
J'ai une solution un peu différente de celle de nazzzzdaq, dont le résultat final est surprenant.
Supposons d'abord m non divisible ni par 2 ni par 5. Alors, comme 10 est premier avec m, sa classe dans Z/mZ est un élément du groupe multiplicatif fini des éléments inversibles de l'anneau Z/mZ.
Il existe donc un entier k
1, tel que 10k soit congru à 1 modulo m.
Alors x=1+10k+102k+...+10(m-1)k est multiple de m. Il s'écrit uniquement avec des 1 et des 0, mais les 1 apparaissent de manière périodique!
Dans le cas général n=2a5bm si m>1, il suffit de multiplier le x ci-dessus par 10sup(a,b).
Bonjour a tous,
joli nazzzzdaq et Camelia.
J'avais fait à peu pres comme toi Camelia sauf que j'avais dit que si on le montrais pour les nombres premiers ca marcherait pour tous les nombres (en decomposant en facteurs premiers,le produit de nombres avec des 0 et des 1 en est un aussi) et ensuite j'utilise petit Fermat pour dire que 10^(p-1)=1(p) (si p different de 2 et 5) et comme on a 2*5=10 c'est ok. Apres c'est la meme chose.
Cette preuve est plus constructive on peut le construire facilement.
J'aime bien on voit qu'il y a plusieurs solutions c'est intéressant si vous avez d'autres propositions n'hesitez pas.
Bonjour Cauchy
Je suis rabat-joie, mais les nombres en 0 et 1 ne sont pas stables par multiplication (112=121).
Puisque l'exo a l'air d'amuser: quel est le plus petit multiple du genre? (je n'ai pas essayé!)
Bravo Camélia, joli le coup des éléments invesibles dans Z/mZ
Dans ce topic encore, on se demande bien s'il y a une méthode niveau Terminale!
(Bien que, stricto sensu, les arguments de Nazzzdaq ne dépassent pas le niveau Terminale - la terminologie "tiroirs de Dirichlet" en plus!- , je ne pense ps qu'un élève de Terminale normalement constitué puisse les envisager...)
Rebonjour; n'en jetez plus
la méthode de nazzzzdaq est envisageable. Quant à la mienne ou celle de Cauchy, sur des cas particuliers...
Par exemple: montrez que 106 est congru à 1 modulo 7
montrez que 1+106+...+1036 est divisible par 7.
Tu enseignes en terminale?
Pas pour l'instant en TS Camélia, je n'enseigne que depuis 2 ans en Lycée, je n'ai eu que des 2ndes des 1èS,des TL et des TES.
Mais l'histoire des tiroirs de Dirichlet était difficile à trouver tout de même.
Bonjour a tous,
Camelia à chaque fois tu me montres les petites imperfections de mes démos
Quand j'ai trouvé l'idée je prend pas assez garde à quelques détails
Cauchy, je pourrais me taire, mais franchement il me semble plus utile de souligner les imperfections! A charge de revanche, j'ai déjà écrit pas mal de "bêtises" (je sais que les mots commençant par c sont interdits) sur ce forum!
C'est pas un reproche au contraire tu fais bien de me souligner ces imperfections c'est juste que t'as l'oeil pour les voir
Tu sais, des centaines de copies corrigées, ça vous forme l'oeil! la différence est que pour lesdites copies, c'est moi qui choisissais le sujet! C'est un vrai plaisir de faire des exos que je ne connais pas déjà!
J'ai enseigné dans pratiquement tous les cycles d'université (sauf Intégration, que j'ai toujours détesté) et je suis depuis peu à la retraite! Enfin, je peux faire des maths juste pour m'amuser, tout en espérant que je sers encore à quelque chose!
Moi aussi je fais des maths juste pour m'amuser j'ai du mal à me motiver d'ailleurs quand l'enoncé m'amuse pas
Tu faisais de la recherche?
oui, j'ai fait de la recherche, avec une réussite plutôt moyenne. Il n'y a pas de théorème de Camélia!
Suite de la conversation le lendemain!
De la K-théorie; c'est de la topologie algébrique et plutôt ésotérique!
Difficile à dire; par exemple c'est avec de la K-théorie que l'on a fini par démontrer que les seules multiplications intègres sur un R-espace vectoriel de dimension finie, sont R, C de dimension 2, les quaternions (non commutatif) de dimension 4 et un truc connu comme octonions ou octaves de Cayley de dimension 8 qui n'est même pas complètement associatif! C'est un problème qui trainait depuis longtemps. Ca permet aussi de dire que des variétés ne sont pas homéomorphes et ça a quelques applications "arithmétiques" genre théorie des nombres.