La distance d'un point ( x , 1-x²) de P à l'origine (o,o
) est
rac²(x²+(1-x²)²) soit rac²(1-x²+x^4), fonction qui se dérive en
(-x+2x^3)/rac(...) dont le signe dépend du numérateur qui se factorise en x(-1+2x²)
D'où deux points réponses d'abscisses rac²(2)/2 et -rac²(2)/2

1)
soit Q(X ; Y)  un point de la parabole P.
On a  Y = 1 - X²
-> Q(X ; 1-X²)

O(0,0)

|OQ| = racinecarrée[X²+(1-X²)]
|OQ| = racinecarrée[X²+1-2X²+X^4]
|OQ| = racinecarrée[X^4-X²+1]

Il suffit donc détudier la fonction
f(x) = racinecarrée(x^4-x²+1)
et de trouver la valeur de x qui rend f(x) minimum.

f(x) = racinecarrée(x^4-x²+1)
domaine d'existence de f(x): il faut x^4-x²+1 >= 0
posons x² = t ->
t²-t+1 > =0
le déterminant de t²-t+1 = 0 est négatif et donc t²+t + 1 a le signe
de son coefficient en t² , soit positif quelle que soit la valeur
de t .
-> on a aussi : x^4-x²+1 > 0 quelle que soit x dans R.
Domaine d'existence de f(x): R.

f '(x) = (4x³-2x)/(2.racinecarrée(x^4-x²+1))
Qui a donc le signe de 4x³-2x
4x³-2x = 2x(2x²-1)

f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; -1/V2[ -> f(x) décroissante.   (V
pour racine carrée)
f '(x) = 0 pour x = -1/V2
f '(x) > 0 pour x = ]-1/V2 ; 0[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1/V2[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 1/V2
f '(x) > 0 pour x = ]1/V2 ; oo[ -> f(x) croissante.

Il y a 2 minima de f(x), un pour x = -1/V2 et un pour x = 1/V2
Comme f(x) = f(-x), f est paire et on a f(-1/V2) = f(1/V2), les 2 minima
sont équivalents.
f(1/V2) = racinecarrée((1/4)-(1/2)+1) = racinecarrée(3/4) = (1/2).racine(3).

On a donc 2 points P qui conviennent.
P : y = 1 - x²
Pour x  = +/- 1/V2 -> y = 1/2
Les points cherchés sont : P1(-1/V2 ; 1/2) et P2(1/V2 ; 1/2)
--------------------
2)
f(x,n) = (1+x)^n
g(x,n) = 1 + nx

h(x,n) = f(x,n)-g(x,n)
h(x,n) = (1+x)^n - 1 - nx
dérivons par rapport à x:
h'(x) = n.(1+x)^(n+1) - n
h'(x) = n [(1+x)^(n+1) - 1]

Avec x >= 0; (1+x)>=1 et avec n >=1, on a (1+x)^(n+1) >= 1
->
h'(x) > 0 et h est croissant avec x pour n donné >= 1

h(0,n) =1^n - 1 - 0
h(0,n) = 0  (quel que soit n)

Et comme h est croissant avec x ->
h(x,n) >= 0
(1+x)^n - 1 - nx >= 0
(1+x)^n >= 1 + nx
------------------------
Sauf distraction.