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Exponentielle

Posté par Saverok (invité) 14-11-04 à 14:18

Bonjour, voilà un petit exo, on vient de commencer la fonction exponentielle en cours, donc j'ai encore un peu de mal...

Soit la fonction f définie sur R:
f(x)=(x)/(e^x -1)
f(0)=1

1. Justifier que f est continue en 0.
   On admet que f ets dérivable en 0 et que son nombre dérivé est -1/2

2. Calculer f'x pour tout réel non nul.

3. Soit g définie sur R par: g(x)=(e^x) - (xe^x) -1
   Etude de svariations puis du signe de g.

4. déduire des questions précédentes le tableau de variations de f.


Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : Exponentielle 14-11-04 à 14:31

Bonjour

Pour montrer que f est continue en 0 on va prouver que \lim_{x\to 0} f(x)=f(0)

On veut calculer :
\lim_{x\to 0} f(x)

En premier lieu calculons \lim_{x\to 0} \frac{1}{f(x)} :

\lim_{x\to 0} \frac{1}{f(x)}=\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x}

Hors on peut écrire :
e^{0}=1 et x=x-0

Donc :
\lim_{x\to 0} \frac{1}{f(x)}=\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}

On en déduit d'aprés la définition du taux de variation :
\lim_{x\to 0} \frac{1}{f(x)}=exp'(0)
c'est a dire :
\lim_{x\to 0} \frac{1}{f(x)}=e^{0}

d'ou :
\lim_{x\to 0} \frac{1}{f(x)}=1

On en déduit de cela :
\lim_{x\to 0} f(x)=1

Or , f(0)=1 donc :
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0) donc f est continue en 0

2)(\frac{u}{v})'=\frac{u'v.uv'}{v^{2}}

On en déduit :
\{{f'(x)=\frac{e^{x}-xe^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}\\f'(0)=-\frac{1}{2}}\

Je te laisse faire la suite qui n'est pas bien compliquée


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