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exponentielle assez costaud
Bonjour a tous
la courbe representative C dans un repere orthonormal d'une fonction f définie et dérivable sur R ainsi que son asymptote D et sa tangente T au point d'abscisse 0.
On sait que:
-le point J(0;1) est le centre de symétrie de la courbe C
-l'asymptote D passe par les points K(-1;0) et J
-la tangente T a pour equation y=(1-e)x+1
PARTIE A:
1. determiner uen equation de D
2. on suposse qu'il existe deux réels m et p et une fonction phi(x) definie sur R telle que, pour tout x,
f(x)=mx+p+phi(x) avec limen +00 de phi(x)=0
a) detreminer met p
b) demontrer que f(x)+f(-x)=2
c) en deduire que la fonction phi est impaire puis que la fonction f' dérivée de f est paire
3. on suposse maintenant que, pour tt x:
phi(x)=(ax+b)*e^(-x^2) ou a et b deux reels
demontrer en utilisant les données et les resultats precedent que a=-e et b=0
PARTIE B
on considere la fonction f definie sur R par :
f(x)=1+x-xe^((-x^2)+1) et on suposse que la courbe C represente la fonction f
1a) verifier que pour tt x:
f'(x)=1+(2x²-1)e^((-x²)+1)
calculer f'(0)
1b) verifier que T est bien tangente à la courbe C au point d'abscisse 0. etudier la position relative de la courbe C et sa tangente T
2.le graphique suggere lexistence dun minimum relatif de f sur [0;1]
a) demontrer que f''(x) est du signe de 6x-4x^3
b) demontrer que lequation f'(x)=0 admet 2 solution unique alpha sur [0;1]
c) demontrer que 0.51<alpha<0.52
d) exprimer f(alpha) sous la forme d'un quotient de deux polynomes en alpha
perosnellement j'ai réussi partie B mais jaimerais que vous me donniez tout d ememe reponse si vous pouvez pour que je compare
merci d'avnce pour les reponses a ce probleme
j'aurais besoin d'aide pour au moins déja la partie A sa seré cool parce ke la ell est vraimen compliqué
vraiment besoin de l'aide d'un correcteur mon DM est pour mardi
merci d'avance
A.
1)
Droite passant par J(0;1) et K(-1;0)
y = x + 1
---
2)
a)
f(x)=mx+p+phi(x)
Comme lim(x->oo) Phi(x) = 0, la droite d'équation y=mx + p est asymptote oblique à C du coté des x positifs.
-> en identifiant y = x + 1 à y=mx + p, on trouve m=1 et p=1.
b)
Le point J(0;1) est le centre de symétrie de la courbe C ->
f(x) + f(-x) = 2
f(x) = x + 1 + phi(x)
f(-x) = -x + 1 + phi(-x)
f(x) + f(-x) = 2 + phi(x) + phi(-x)
2 = 2 + phi(x) + phi(-x)
phi(x) = -phi(-x) et donc phi est impaire.
phi'(x) = phi'(-x)
phi'(x) - phi'(-x) = 0
f '(x) = 1 + phi'(x)
f '(-x) = 1 + phi'(-x)
f '(x) - f '(-x) = phi'(x) - phi'(-x)
f '(x) - f '(-x) = 0
f '(x) = f '(-x) et donc f '(x) est paire.
---
3)
phi(x)=(ax+b)*e^(-x^2)
f(x) = x + 1 + (ax+b)*e^(-x^2)
f '(x) = 1 + a.e^(-x²) - 2x(ax+b).e^(-x²)
f '(0) = 1 + a
f(0) = 1 + b
T: y - (1+b) = x.(1+a)
T: y = x(1+a) + (1+b)
A identifier avec: y = (1-e)x + 1
-> a = -e et b = 0
Et donc finalement: f(x) = x + 1 -e.x.*e^(-x^2)
f(x) = x + 1 - x.e^(1-x²)
----------
B)
1a)
f(x)=1+x-xe^((-x^2)+1)
f '(x) = 1 - e^((-x^2)+1) + 2x².e^((-x^2)+1)
f '(x) = 1 + (2x²-1).e^((-x^2)+1)
---
1b)
f '(0)= 1-e
f(0) = 1
T: y - 1 = (x-0).(1-e)
T: y = (1-e)x + 1
T est donc bien tangente à C en x = 0
f(x) - ((1-e)x + 1) = x + 1 - x.e^(1-x²) - ((1-e)x + 1)
f(x) - ((1-e)x + 1) = -x.e^(1-x²) +ex
f(x) - ((1-e)x + 1) = x.(e-e^(1-x²))
Or (e-e^(1-x²)) > 0 pour tout x de R*
-> f(x) - ((1-e)x + 1) a le signe de x
f(x) - ((1-e)x + 1) < 0 pour x < 0 -> f(x) < ((1-e)x + 1) et C est en dessous de T.
f(x) - ((1-e)x + 1) = 0 pour x = 0 -> f(x) = ((1-e)x + 1) et C et T coïncident.
f(x) - ((1-e)x + 1) > 0 pour x > 0 -> f(x) > ((1-e)x + 1) et C est au dessus de T.
---
2)
a)
f '(x) = 1 + (2x²-1).e^((-x^2)+1)
f ''(x) = 4x.e^((-x^2)+1) - 2x.(2x²-1).e^((-x^2)+1)
f ''(x) = (-4x³+2x+4x).e^((-x^2)+1)
f ''(x) = (-4x³+6x).e^((-x^2)+1)
e^((-x^2)+1) est > 0 -> f ''(x) a le signe de -4x³+6x
---
b)
f ''(x) a le signe de -2x(2x²-3) ->
f ''(x) = 0 en x = 0
f ''(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1] -> f '(x) est croissante.
f '(0) = 1 + (-1).e^(1) = 1 - e < 0
f '(1) = 1 + (2-1).e^(-1+1) = 1 + 1 = 2
-> il y a une et une seule valeur de x sur [0;1] pour laquelle f '(x)=0, soit alpha cette valeur de x.
---
c)
f '(0,51) = -0,005... < 0
f '(0,52) = 0,04... > 0
Et donc on a 0,51 < alpha < 0,52
-----
Sauf distraction. 
merci beaucoup JP pour cette correction
pourriez vous maider a repondre a la toute derniere question qui a du être oublié
merci d'avance
ben non justement vraiment désolé mais jy arrive pa du tout la derniere
jaurai besoin d'aide car c'est pour demain matin
f'(
)=1+(2²-1)exp((-²)+1)=0
Donc exp((-)²+1)=-1/(2²-1)
f()=1+-e^((-²)+1)
=1+-(-1/(2²-1))
=1++/(2²-1)
A réduire au même dénominateur pour répondre à la question .
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