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Exponentielle équation

Posté par
FerreSucre
12-02-20 à 14:45

Bonjour, je me retrouve régulièrement dans un cas avec les fonctions exponentielles un peu perturbant,
Du style :

e^x  = 2x

Comment faire pour résoudre ses équation ? On ne peut pas utiliser ln car sinon on tourne en boucle.
Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 14:46

bonjour
on fait une étude de fonction et on montre l'existence d'une solution avec le TVI, qu'on encadre ensuite par dichotomie

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 14:46

Bonjour

Je suis sûre qu'on te demande pas de résoudre, mais de trouver si ça s'annule, ou quelque chose du même genre. On est toujours amené à étudier la fonction f(x)=e^x-2x

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 15:02

Oui je sais qu'on me demande pas de trouver les valeurs mais j'aimerais pouvoir la résoudre c'est tout !

f'(x) = e^x -2
e^x - 2 > 0
e^x > 2
x > ln(2)

Ainsi f est décroissante sur [-∞;ln2] puis croissante sur [ln2;∞].
Mais on trouvera seulement des valeurs approchées...
Mais si on veut les valeurs exactes ? C'est pas possible ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 15:04

tu as cherché la valeur du minimum ?

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 15:07

Donc là on peur savoir que y'a aucune solution à l'équation f(x) = 0 mais si on prenait
e^x = 2x + 4

On pourrait seulement deviner que y'a 2 solutions.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 15:08

Citation :
Mais si on veut les valeurs exactes ? C'est pas possible ?

non c'est pas possible.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 15:11

Citation :
Donc là on peur savoir que y'a aucune solution à l'équation f(x) = 0 mais si on prenait
e^x = 2x + 4

On pourrait seulement deviner que y'a 2 solutions.


Et trouver des valeurs approchées x ~ -1.92722 et x ~ 2.10547

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 15:18

salut,
resultat obtenu avec Xcas
solve(e^x=2x+4) renvoie


 \\ \{-\mathrm{LambertW}\left(-\frac{1}{2 e^{2}}\right)-2,-\mathrm{LambertW}\left(-\frac{1}{2 e^{2}},-1\right)-2\}
 \\

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 15:20

Mdr ok ! Donc c'est strictement impossible ! Sauf en étude sup ?

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 12-02-20 à 15:22

oui post bac
va voir sur le net la fonction LambertW

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 21:12


 \\ \{-\mathrm{LambertW}\left(-\frac{1}{2 e^{2}}\right)-2,-\mathrm{LambertW}\left(-\frac{1}{2 e^{2}},-1\right)-2\}
 \\

C'est 2 solutions différentes ? Ou c'est à cause du domaine de définition comme c'est soit < -1/e ou >

Je me suis renseigné sur ce genre d'équations et je dois admettre que c'est pas évident de ce dire qui faut faire apparaître xe^x = ...
Donc on a :

e^x = 2x+4
-e^x = -2x-4
-1 = (-2x-4)e^{-x}
\dfrac{-1}{2}=(-x-2)e^{-x}
\dfrac{-1}{2e²} = (-x-2)e^{-x-2}
W(\dfrac{-1}{2e²} = -x - 2
x = -W(\dfrac{-1}{2e²})-2

D'où ma question c'est 2 solution distincte mais comment avoir l'autre ? Y'a certainement cette histoire de domaine :
x < -1/e, ?

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 22:09

Comment trouve-t'on la deuxième solution ?
Merci

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 22:10

Excellente recherche ! Bravo !
Pour comprendre et pour rester simple tu peux resoudre le pb suivant:
Discuter le nombre de solutions de l'equation x*e^x=t, t parametre reel.
Reponse

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 22:15

dans ton exercice, a=-1/(2*e^2) a 2 antecedents W0(a) et W-1(a)
ces 2 valeurs ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 22:21

J'ai du mal à comprendre ton logiciel de calcul formel, j'utilise Wolfram alpha personnellement, en posant :

xe^x = t

Je tombe sur :

x = W(t)
x = W_n(t), n \in \Z

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 22:27

Ne serais-tu pas un peu tetu ?
Avec Wolfram Alpha tu as une seule ligne de commande.
Que veux tu faire avec ça ?
Xcas (un seul developpeur) est parfois un peu moins performant que Wolfram mais on peut quasiment tout faire soi meme particulierement la programmation.
Et c'est un logiciel libre et gratuit.
Pourquoi refuses tu de cliquer sur mon lien ?

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 22:31

J'ai cliqué ! Mais je suis totalement perdue je n'ai aucune expérience avec ton logiciel.

Mais bref, on est sensé avoir quoi ducoup ?

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 22:35

Quelle experience ?
tu cliques, tu attends le chargement (un peu long la premiere fois car Xcas se charge dans le cache de ton navigateur, ensuite tu peux travailler hors connexion)
Si necessaire tu appuies sur Exec en bas à gauche

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 23:04

Je te pose une seule question simple:
Discuter le nombre de solutions de l'equation x*e^x=t, t parametre reel.

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 23:25

Bah tout simplement :
\forall{t}>0, 1 solution.
0>\forall{t}>-\dfrac{1}{e}, 2 solutions.
Et inférieur à -1/e aucune solution.

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 23:29

Ça voudrait dire que à partir du moment ou on sait que y'a 2 solutions qui existes, on utilise W(a) et W_{-1}(a), c'est ça ?

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 23-02-20 à 23:44

Ah je commence à mieux comprendre j'ai trouvé que :

x = -W(-1/2e²)-2

Et :
\dfrac{-1}{e}< \dfrac{-1}{2e²} < 0

Donc deux solutions :

x_1 = -W_{-1}(\dfrac{-1}{2e²})-2

x_2 = -W(\dfrac{-1}{2e²})-2

C'est plus logique maintenant ! Je comprends mieux

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 24-02-20 à 10:33

oui

x_1 = -W_{-1}\left(\dfrac{-1}{2e²}\right)-2

x_2 = -W_0\left(\dfrac{-1}{2e²}\right)-2

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 24-02-20 à 10:59

Dernière question , y'a seulement deux fonctions lambertW ou y'en a d'autre :
Car wolfram aloha disais :

W_n(t), n \in \Z

Il existe W_{-2}.... ?

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 24-02-20 à 11:03

Ou ce genre de fonction sont donc \C, pour résoudre les équations du type :
xe^x = -2

Posté par
alb12
re : Exponentielle équation 24-02-20 à 16:37

ce lien me semble interessant

Par exemple l'equation x*e^x=-1/5 a une infinite de solutions complexes dont 2 sont reelles. Les solutions sont indexees par les entiers relatifs.
Voici les solutions approchees pour les entiers de -10 à 10.


 \\ \left(\begin{array}{cc}
 \\ k & \mathrm{LambertW(-1/5,k)} \\
 \\ -10 & -5.67502005767-58.0219660739*i \\
 \\ -9 & -5.56120566856-51.7291839507*i \\
 \\ -8 & -5.43279897653-45.4340831378*i \\
 \\ -7 & -5.28550999183-39.1356643516*i \\
 \\ -6 & -5.11282939268-32.8322377826*i \\
 \\ -5 & -4.90417454349-26.5206842509*i \\
 \\ -4 & -4.64057639075-20.1944792262*i \\
 \\ -3 & -4.28252269032-13.8370198026*i \\
 \\ -2 & -3.72232048492-7.38723021057*i \\
 \\ -1 & -2.54264135777 \\
 \\ 0 & -0.259171101819 \\
 \\ 1 & -3.72232048492+7.38723021057*i \\
 \\ 2 & -4.28252269032+13.8370198026*i \\
 \\ 3 & -4.64057639075+20.1944792262*i \\
 \\ 4 & -4.90417454349+26.5206842509*i \\
 \\ 5 & -5.11282939268+32.8322377826*i \\
 \\ 6 & -5.28550999183+39.1356643516*i \\
 \\ 7 & -5.43279897653+45.4340831378*i \\
 \\ 8 & -5.56120566856+51.7291839507*i \\
 \\ 9 & -5.67502005767+58.0219660739*i \\
 \\ 10 & -5.77721912746+64.3130602169*i
 \\ \end{array}\right)
 \\

Posté par
FerreSucre
re : Exponentielle équation 24-02-20 à 19:35

D'accord merci en tout cas bonne soirée.



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