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exponentielle et géométrie
On a Z=f(z)=(z-2+i)/(z+2i)
on désigne z(A)=2-i et z(B)=-2i les affixes des points A et B
on a donc Z=(z-za)/(z-zb)
1)Quel lieu géométrique décrit le points M d'affixe z quand Z est un
réel.
2) Calculer |f(z)-1| 
|z+2i|, en déduire que les
points M' d'affixe Z appartiennent à un cercle dont il
faut préciser le rayon et le centre quand M parcourt le cercle de
centre B et de rayon 
5 ]
- Question 1 -
(z - 2 + i)/(z + 2i)
= [(x-2)+i(y+1)]/[x+i(y+2)]
= [((x-2)+i(y+1))(x-i(y+2))]/[x²+(y+2)²]
= [x(x-2)-i(x-2)(y+2)+ix(y+1)+(y+1)(y+2)]/[x²+(y+2)²]
= []x²-2x+y²+3y+2+i(xy+x-xy-2x+2y+4)/[x²+(y+2)²]
= (x²+y²-2x+3y+2+i(-x+2y+4)]/[x²+(y+2)²]
avec z = x+iy, x et y réels
Z est un réel si et seulement si
-x + 2y + 4 = 0
et
x
0
y-2
L'ensemble cherché est la droite d'équation y = 1/2x - 2 privé du point
(0; -2).
- Question 2 -
|f(z)-1||z+2i|
=|(z-2+i)/(z+2i) - 1||z+2i|
= |z-2+i-z-2i|
= |-2-i|
= (4+1)
= 5
Quand M parcourt le cercle de centre B et de rayon 5,
alors :
|z + 2i| = 5
Donc :
|f(z) - 1|4 = 5
|f(z) - 1| = 1
M' appartient à un cercle de centre (1; 0) et de rayon 1.
Voilà, bon courage 
...
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