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exponentielle et suite Terminale

Posté par
Nicaragua89
31-10-15 à 22:54

Bonsoir à tous, quelqu'un pourrait m'apporter son aide sur cette exercice :

I) On considère la fonction f définie sur I ) [0;1] par f(x) = (e^x -1)/(e^x -x)

1) a) Démontrer que pour tout x de I, f'(x) = h(x) / (e^x - x)²
où h est une fonction de l'on déterminera.
b) étudier les variation de h sur I et déduisez-en celles de f
c) Démontrer que pour tout x de I, f(x) appartient à I

2) On note la droite d'équation y=x
a) Démontrer que pour tout x de I, f(x)-x = ((1-x) * g(x)) / (e^x - x)
b) déduisez-en la position relative de la courbe de F et la courbe y=x sur I

II) On considère la suite Un définie par U0 = 1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)

1) Tracer la courbe d'équation y=x , et construisez sur l'axe des adscisses les premiers termes de la suite (Un). Quelle conjecture faites-vous quant à la convergence de (Un) ?
2) Démontrez que pour tout n de N
a) 0.5 <= Un <= Un+1 <= 1;
b) Un-1 <= (9/10)^n * (U0 -1)
3) La suite Un est-t-elle convergente ? Le résultat est-il conforme à votre conjecture ?

Donc voila, si quelqu'un pourrait m'aider ...

Posté par
sanantonio312
re : exponentielle et suite Terminale 31-10-15 à 23:04

Bonjour,
Tu as certainement commencé.
Où en es-tu? Qu'as-tu trouvé?

Posté par
Nicaragua89
re : exponentielle et suite Terminale 01-11-15 à 09:58

Oui oui bien sur sanantonio312 , donc déja je voudrais préciser que g(x)=e^x - x - 1 , en faite je ne vous ai proposé que la fin de l'exercice

Bon mes réponses :

1) a) f'(x) = (e^x(2-x)-1) / (e^x-x)² avec h(x) = e^x(2-x)-1

b) h'(x) = e^x (1-x) > 0
On a donc
x         0                      1
h'(x)                +           0
h(x)      1      croissant
f'(x)                +
f(x)      0      croissant       1

c) f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; et f est croissante sur I
Donc sur I, f(x) appartient à i

2) a) je rappelle que g(x) = e^x -x -1

j'en arrive la : f(x) - x = e^x(1-x) -1 +x²
                                    e^x - x

Posté par
Nicaragua89
re : exponentielle et suite Terminale 01-11-15 à 09:59

et je ne sais plus comment avancer

Posté par
Nicaragua89
Exponentielle Terminal 01-11-15 à 10:14

Bonjour à tous, donc j'ai un Dm sur les exponentielles, autant vous dire que je ne maîtrise pas beaucoup, donc j vous propose mon exercice, et si quelqu'un peut me corriger (si vous voyer n'importe quelle imprécision faites la moi remarquer svp) et m'aider pour la dernière question ce serait top

La fonction g définie sur I = [0; +inf[ par g(x) = ex-x-1
1) Étudiez les variation de g
2) Déterminer le signe de g(x) sur I
3) Déduisez des question précédentes que
a: pour tout x de I , ex-x > 0
b: pour tout x de (0.5 ; 1) , 0.5 <=     1   <= 0.9
                                                  (e^x -x)

Mes réponses :

1) g'(x) = ex -1
         =ex-e0

ex - e0 > 0
x > 0

x       0                1
g'(x)   0        +
g(x)    0    croissante

2) g(0) = 0 et g est croissante sur I , donc g(x) >= 0 sur I

3) a) ex- x = g(x)+1
or g(x) >= 0
donc g(x) + 1 >= 1
ex -x >= 1
Ainsi ex - x > 0

b: la je n'ai pas réussi

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : exponentielle et suite Terminale 01-11-15 à 10:26

En faite finalement j'ai réussi la question 2a et 2b mais j'ai toujours besoin d'aide pour le reste ...

Posté par
Labo
re : Exponentielle Terminal 01-11-15 à 10:32

Bonjour,
0,5≤x≤1
0<e^{0,5}-0,5 \leq e^x-x\leq e-1
\dfrac{1}{e-1 } \leq \dfrac{1}{e^x-x} \leq \dfrac{1}{e^0,5-0,5}
0,5 \leq 0,58..\leq \dfrac{1}{e^x-x} \leq 0,87..\leq 0,9

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : Exponentielle Terminal 01-11-15 à 10:53

Ah super ; merci Labo,  et pour ce que j'ai fait au début c'est bon ? mon prof est assez pointilleux il faut que tout soit parfaitement rédigé :')

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
Suites exercice 01-11-15 à 16:53

Bonjour à tous, j'ai un exercice super difficile sur les suites et les exponentielles

Soit U0 = 0.5
Un+1 = f(Un) = eUn-1 / eUn -Un

Démontrez que pour tout n :

a : 0.5 <= Un <= Un+1 <= 1

b : Un -1 <= (9/10)n (U0 -1)

La suite est-elle convergente ?

Ps : Au début de l'exercice, on a démontré les variations de f(x) et le signe de f(x)-x

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:01

tu as déjà posté cet exercice exponentielle et suite Terminale

le multipost est interdit



*** message déplacé ***

Posté par
philgr22
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:02

Bonjour,
Il faut effectivement te servir du sens de variation de f

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:03

Oui je sais malou , mais sur l'autre post j'avais mis l'exercice en entier, là je n'ai besoin que de la dernière partie, et je n'arrive pas à supprimer l'autre post... :/

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:06

Oui philgr22 , et si f(x) est croissante sur [0+inf[ tout le monde est content. Mais le problème c'est que f(x) n'est croissante que quand x appartient à [0;1] . il faut donc que je prouve que Un et Un+1 appartiennent à [0;1] , mais je n'y arrive pas ...

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:06

tu as besoin de faire la 1re partie pour faire celle-ci
tu ne peux pas supprimer le post précédent

tu es averti lorsque tu postes un sujet, tu ne peux pas dire que tu n'étais pas prévenu
Suites exercice

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:07

Oui désolé ... mais je n'avais pas de réponse du coup je commençais à déprimer, c'est bon je ne le referais plus

*** message déplacé ***

Posté par
philgr22
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:24

je pense que j'ai le droit de te repondre maintenant....Utilise un raisonnement par recurrence.

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:38

Oh merci beaucoup philgr22 , c'est ce que je viens de faire. C'était long mais j'ai réussi merci. Maintenant tu saurait pas comment faire la b.

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:42

Je tiens à préciser que le Un -1 n'est pas un Un-1 mais bien Un-1
Donc la question c'est :
démontrer que Un-1 <= (9/10)n*(U0-1)

*** message déplacé ***

Posté par
philgr22
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:48

pour l'instant ,je ne vois pas:je reflechis...

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : Suites exercice 01-11-15 à 17:50

je pense à faire à nouveau de la récurrence, je sais pas si ca va marcher ...

*** message déplacé ***

Posté par
Nicaragua89
re : exponentielle et suite Terminale 01-11-15 à 17:54

Finalement j'ai réussi, Bon merci pour ton aide philgr22 , ca fait plaisir de voir qu'il y a des gens qui prennent de leur temps pour venir aider

Posté par
lafol Moderateur
re : exponentielle et suite Terminale 01-11-15 à 17:56

bonjour

philgr22 aurait vu si tu avais posté TOUT ton exercice, dans l'ordre, dans le même topic !
Si on lutte contre le multipost, c'est aussi pour permettre aux correcteurs d'être dans de bonnes conditions pour aider les questionneurs ! pas juste pour vous embêter ! (il est d'autant plus regrettable, du coup, que certains correcteurs encouragent le non respect des règles ...)

Posté par
philgr22
re : exponentielle et suite Terminale 01-11-15 à 18:13

je n'encourage pas le non respect des regles:j'ai repondu au moment où  nicaragua avait été averti...



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