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exponentielle et suite Terminale
Bonsoir à tous, quelqu'un pourrait m'apporter son aide sur cette exercice :
I) On considère la fonction f définie sur I ) [0;1] par f(x) = (e^x -1)/(e^x -x)
1) a) Démontrer que pour tout x de I, f'(x) = h(x) / (e^x - x)²
où h est une fonction de l'on déterminera.
b) étudier les variation de h sur I et déduisez-en celles de f
c) Démontrer que pour tout x de I, f(x) appartient à I
2) On note la droite d'équation y=x
a) Démontrer que pour tout x de I, f(x)-x = ((1-x) * g(x)) / (e^x - x)
b) déduisez-en la position relative de la courbe de F et la courbe y=x sur I
II) On considère la suite Un définie par U0 = 1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)
1) Tracer la courbe d'équation y=x , et construisez sur l'axe des adscisses les premiers termes de la suite (Un). Quelle conjecture faites-vous quant à la convergence de (Un) ?
2) Démontrez que pour tout n de N
a) 0.5 <= Un <= Un+1 <= 1;
b) Un-1 <= (9/10)^n * (U0 -1)
3) La suite Un est-t-elle convergente ? Le résultat est-il conforme à votre conjecture ?
Donc voila, si quelqu'un pourrait m'aider ...
Oui oui bien sur sanantonio312 , donc déja je voudrais préciser que g(x)=e^x - x - 1 , en faite je ne vous ai proposé que la fin de l'exercice
Bon mes réponses :
1) a) f'(x) = (e^x(2-x)-1) / (e^x-x)² avec h(x) = e^x(2-x)-1
b) h'(x) = e^x (1-x) > 0
On a donc
x 0 1
h'(x) + 0
h(x) 1 croissant
f'(x) +
f(x) 0 croissant 1
c) f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; et f est croissante sur I
Donc sur I, f(x) appartient à i
2) a) je rappelle que g(x) = e^x -x -1
j'en arrive la : f(x) - x = e^x(1-x) -1 +x²
e^x - x
Bonjour à tous, donc j'ai un Dm sur les exponentielles, autant vous dire que je ne maîtrise pas beaucoup, donc j vous propose mon exercice, et si quelqu'un peut me corriger (si vous voyer n'importe quelle imprécision faites la moi remarquer svp) et m'aider pour la dernière question ce serait top 
La fonction g définie sur I = [0; +inf[ par g(x) = ex-x-1
1) Étudiez les variation de g
2) Déterminer le signe de g(x) sur I
3) Déduisez des question précédentes que
a: pour tout x de I , ex-x > 0
b: pour tout x de (0.5 ; 1) , 0.5 <= 1 <= 0.9
(e^x -x)
Mes réponses :
1) g'(x) = ex -1
=ex-e0
ex - e0 > 0
x > 0
x 0 1
g'(x) 0 +
g(x) 0 croissante
2) g(0) = 0 et g est croissante sur I , donc g(x) >= 0 sur I
3) a) ex- x = g(x)+1
or g(x) >= 0
donc g(x) + 1 >= 1
ex -x >= 1
Ainsi ex - x > 0
b: la je n'ai pas réussi
*** message déplacé ***
En faite finalement j'ai réussi la question 2a et 2b mais j'ai toujours besoin d'aide pour le reste ...
Ah super ; merci Labo, et pour ce que j'ai fait au début c'est bon ? mon prof est assez pointilleux il faut que tout soit parfaitement rédigé :')
*** message déplacé ***
Bonjour à tous, j'ai un exercice super difficile sur les suites et les exponentielles
Soit U0 = 0.5
Un+1 = f(Un) = eUn-1 / eUn -Un
Démontrez que pour tout n :
a : 0.5 <= Un <= Un+1 <= 1
b : Un -1 <= (9/10)n (U0 -1)
La suite est-elle convergente ?
Ps : Au début de l'exercice, on a démontré les variations de f(x) et le signe de f(x)-x
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tu as déjà posté cet exercice 
exponentielle et suite Terminale
le multipost est interdit
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Oui je sais malou , mais sur l'autre post j'avais mis l'exercice en entier, là je n'ai besoin que de la dernière partie, et je n'arrive pas à supprimer l'autre post... :/
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Oui philgr22 , et si f(x) est croissante sur [0+inf[ tout le monde est content. Mais le problème c'est que f(x) n'est croissante que quand x appartient à [0;1] . il faut donc que je prouve que Un et Un+1 appartiennent à [0;1] , mais je n'y arrive pas ...
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tu as besoin de faire la 1re partie pour faire celle-ci
tu ne peux pas supprimer le post précédent
tu es averti lorsque tu postes un sujet, tu ne peux pas dire que tu n'étais pas prévenu
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Oui désolé ... mais je n'avais pas de réponse du coup je commençais à déprimer, c'est bon je ne le referais plus
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je pense que j'ai le droit de te repondre maintenant....Utilise un raisonnement par recurrence.
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Oh merci beaucoup philgr22 , c'est ce que je viens de faire. C'était long mais j'ai réussi merci. Maintenant tu saurait pas comment faire la b.
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Je tiens à préciser que le Un -1 n'est pas un Un-1 mais bien Un-1
Donc la question c'est :
démontrer que Un-1 <= (9/10)n*(U0-1)
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je pense à faire à nouveau de la récurrence, je sais pas si ca va marcher ...
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Finalement j'ai réussi, Bon merci pour ton aide philgr22 , ca fait plaisir de voir qu'il y a des gens qui prennent de leur temps pour venir aider
bonjour
philgr22 aurait vu si tu avais posté TOUT ton exercice, dans l'ordre, dans le même topic !
Si on lutte contre le multipost, c'est aussi pour permettre aux correcteurs d'être dans de bonnes conditions pour aider les questionneurs ! pas juste pour vous embêter ! (il est d'autant plus regrettable, du coup, que certains correcteurs encouragent le non respect des règles ...)
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