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Exprimer A en fonction de b
Bonjour,
J'ai lu beaucoup de post equivalent, mais dans ce probleme c'est le x strictement < qui me gene dans la demarche. Pourriez-vous me donner la piste du 1)a deja pour commencer. Merci. J'essaierai d'avancer pour le reste sur le meme modele.
Soit f, une fonction definie sur ]-inf;0[ telle que pour tout reel x de cet intervalle, 1/(1+x)<= f(x)<=1/x^2
Soit b un réel strictement positif.
1a. Exprimer en fonction de b un nombre A1 tel que pour tout nombre réel x strictement inferieur à A1 on ait 1/x^2<b
1b.Exprimer en fonction de b un nombre A2 tel que pour tout nombre réel x strictement inferieur a A2 on ait 1/(1+x)>- b.
1c.Exprimer en fonction de b un nombre A tel que pour tout nombre réel x strictement inferieur a A on ait f(x)appartient a ]-b;b[
2) quelle propriété de la fonction f est démontrée à la question 1c)?
c) Proposer une autre justification de cette propriété de la fonction f à l'aide d'un théorême. On enoncera ce théorême avec précision.
Bonjour,
pour le 1a, on cherche donc A1 de sorte que :
x < A1 => 1/x² < b
Résolvons 1/x² < b
<=> 1 < bx² (x² > 0 donc pas de changement de symbole)
<=> 1/b < x² (b est strictement positif, c'est précisé, donc je peux diviser par b, et du fait que b > 0 on ne change pas le symbole de l'inéquation).
De manière générale, quand tu dois résoudre x² > m (où m est connu), tu te retrouves avec 2 nouvelles inéquations, à savoir :
x > 
m
OU
x < - m
Ici, le m ce sera 1/b.
Je m'arrête là pour le moment, tu essayes de voir si tu as compris cela et si tu peux poursuivre, sinon tu me dis ce qui te gêne 
Merci
Donc si je prend A1=-rac de 1/b
J'ai bien:
x<A1
Est-ce tout pour la reponse ou est ce que je dois encore continuer quelque chose?
Je comprends la demarche pour le 2, mais je bloque sur les inequations. Je dois donc sortir le x qui me donnera une valeur de A2
Pour A1 < -1/b, je suis d'accord.
C'est tout ce qu'on te demande
Ensuite, pour la 1b, l'énoncé n'est pas très clair : on ne connaît pas le domaine de définition de x. On imagine que c'est ]-
;0[ mais ce n'est pas précisé.
x ne pourra pas prendre la valeur -1 car 1+(-1) = 0 et on ne peut pas diviser par 0.
De plus le signe de 1+x change selon que x soit > -1 ou < -1.
Grosso modo, il te faut résoudre 1/(1+x) > -b en faisant TRÈS attention aux signes ! (et donc aux symboles d'inéquation)
Tu dois résoudre 1/(1+x) > -b pour x > -1 d'un côté, et x < -1 de l'autre.
De ces deux inéquations, tu vas trouver x < A2 avec A2 en fonction de b.
Merci pour le 1 a) j'avais mis la racine sur l'ensemble.
Pour le 2, je trouve:
si x>-1 alors x<2/3
si x<-1 alors x>2/3
Donc A2=2/3 avec x>-1
???? Pas sur du tout
Merci pour le 1 a) j'avais mis la racine sur l'ensemble.
ça ne change absolument rien car
1 = 1
Sinon, je ne sais pas comment tu trouves ton 2/3 : tu dois trouver A2 en fonction de b, b doit intervenir dans l'expression.
Allez je t'aide un peu, mettons pour x > -1
x > -1
1+x > 0
1/(1+x) > -b
<=> 1 > -b(1+x)
<=> -1/b < 1+x
<=> x > -1 - 1/b
<=> x > -(1+1/b)
ça, c'est une des solutions possibles de l'équation, mais nous, nous cherchons A2 tel que x < A2 donne 1/(1+x) > -b, or là, on a x > -(1+1/b).
Je te laisse résoudre
1/(1+x) > -b
avec x < -1 cette fois-ci, et là tu vas trouver ton A2.
Je continue sur cette base.
1c)
Si x<A1>0 alors 1/x^2<b
Si x<A2>0 alors 1/1+x>-b
Donc pour x<max(A1;A2) on aura -b<1/1+x<= f(x)<=1/x^2<b
Donc f(x) appartient ]-b;b[
Donc pour tout b>0 il existe un A>0 tel que pour tout x<A f(x) appartient ]-b;b[
x < -1
1+x < 0
1/(1+x) > -b
<=> 1 < -b(1+x)
<=> -1/b < 1+x
<=> x < -1 - 1/b
<=> x < -(1+1/b)
Je n'ai que change le signe, c'est ca?
1c)
On sait que
si x < A1, 1/x² < b
Or, on a f(x) 
1/x² d'où f(x) < b.
Sur le même principe
si x < A2 on a -b < f(x)
Autrement dit, si tu as x < A1 ET x < A2, alors tu as -b < f(x) < b
Quelle conclusion peux-tu en tirer pour trouver A ?
T'es pas très loin.
Mais comme tu as un signe < tu dois prendre le minimum car si tu es plus petit que l'un et l'autre, ça signifie que tu es plus petit que le minimum des 2.
Donc A=min(A1,A2)
Oups. Merci J'avais marque minimum en plus sur mon brouillon 
Et ca, c'est bien la propriete?
Donc pour tout b>0 il existe un A>0 tel que pour tout x<A f(x) appartient ]-b;b[
Et la limite en -=0 ?
Ensuite on finit par comparer avec le theoreme du gendarme
Pour tout x<0 ==> 1/(1+x)<= f(x)<=1/x^2
lim - 1/(1+x)=lim-1/x^2
Donc lim - f(x) = 0
Si c'est bien ca, je serai bien etonne. Mais on ne sait jamais
Franchement, la propriété je ne vois pas mais tu sais le lycée c'est loin pour moi, je ne me rappelle pas de tout 
Pour la limite en -, tu peux effectivement utiliser le théorème des gendarmes pour prouver que la limite de f sera 0 en -
Merci beaucoup Foreverson.
Ton aide a ete tres precieuse. Je pense que j'ai tout maintenant.
Bonne soiree
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