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Extensions de corps algébriques
Salut,
Il y a un exercice avec lequel j'ai du mal même si il n'a pas l'air difficile.
Si on se donne des extensions de corps tq
et
sont algébriques, on veut montrer que
est algébrique.
Donc je prends un et je veux montrer que
est fini ou qu'il existe un polynôme dans
qui s'annule en
par exemple, mais j'ai du mal à faire un pont entre les 2 extensions.
Quelqu'un peut m'aider ?
salut
si est algébrique et
alors il existe un polynome P de L[x] tel que P(a) = 0
soit et
or est algébrique donc tout a_k est racine d'un polynome à coefficient dans L
...
Merci pour ta réponse.
Je suis d'accord, est une racine d'un polynôme non nul dans
mais je ne vois pas en quoi ça nous aide. On a des polynômes
dans
qui annulent les
, et tu suggères qu'on peut écrire
comme une somme d'éléments de
?
Bonjour,
L'idée n'est pas mauvaise :
si
Puis, de l'expression de carpediem(la formule avec la somme), on a que a est algébrique sur M. Donc M(a):M est de degré fini.
Par la formule des degrés et ce qui précède, [M(a):M][M:K]=[M(a):K] fini. En particulier, a algébrique sur K.
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