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Extremuns et intervalles

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
07-08-05 à 13:22

Bonjour à tous,

Voici mon problème : j'ai 2 théorèmes dans lequel je ne comprends pas pourquoi l'intervalle doit être ouvert!

Voici l'énoncé :
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, c est un point de I.
(1) Si f(c) est un extremun local, alors f'c) = 0
(2)Si f' s'annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremun local.

Pourquoi l'intervalle I doit être ouvert?

Merci d'avance

A plus

Posté par biondo (invité)re : Extremuns et intervalles 07-08-05 à 14:00

Salut clemclem!

Prends l'exemple de la droite affine y= f(x) = x, sur l'intervalle [0,1] (ferme, donc).

Le (1) devient faux: f(0) est le minimum de la fonction, et pourtant la derivee de f en ce point n'est pas nulle.

A+

Biondo

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : Extremuns et intervalles 07-08-05 à 15:04

Merci biondo!

Je comprends beaucoup mieux maintenant!

A plus

Posté par
ciocciu
euuhhh pas tout à fait d accord 07-08-05 à 20:51

salut
y'a qd mm un os dans ce que dis biondo
en effet f(0.1)est le minimum aussi si f(x)=x pr f'(0.1) n'est pas nul non plus donc ça marche pas non plus.....
il me semble me souvenir que ces histoires d'intervalles ouverts proviennent de la démonstration du thgéorème qui est surement très compliquée
à voir ....
qq'un la connait peut être....
je vais essayer de regarder si g le tps
bye

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : Extremuns et intervalles 07-08-05 à 20:56

Bonjour ciocciu,

Je ne comprends pas pourquoi tu fais cette remarque!
Sur [0;1] : f(0,1) n'est pas le minimun de la fonction f(x)=x

La remarque de biondo me semble juste!

A plus

Posté par
muriel Correcteur
re : Extremuns et intervalles 07-08-05 à 21:41

bonjour ,
pour démontrer le 1er théorème, cela peut se faire au niveau 1ère S.
voilà, un raisonnement:
soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, c est un point de I.
supposons que f(c) est un extremun local, par exemple, un maximum (pour facilité le raisonnement)
donc
pour tout x < c, f(x) < f(c)
ainsi \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge0

et pour tout x > c, f(x) < f(c)
ainsi: \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\le0

ce qui donne pour la limite: \lim_{x\to c}\;\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\;=\;0
ce qui démontre f'(c)=0

pour le 2ème théorème, c'est du niveau post bac, parce qu'il faut utiliser le théorème de Rolle.

Posté par
muriel Correcteur
re : Extremuns et intervalles 07-08-05 à 21:43

à oui, j'ai oublié de rajouter qu'en effet, la remarque de biondo est correct
le fait que l'intervalle est ouvert permet de considérer les 2 limites (à droite et à gauche)

Posté par
ciocciu
oui oui désolé 08-08-05 à 05:58

resalut à tous
effectivement ma remarque précédente est un peu à coté de la plaque (désolé ch'uis pas du soir) en fait muriel nous a bien demontré le 1) comme il le fallait
merci à elle et encore désolé j'avais pas bien réfléchi

Posté par biondo (invité)re : Extremuns et intervalles 08-08-05 à 11:52

Merci Muriel

Biondo

Posté par
muriel Correcteur
re : Extremuns et intervalles 08-08-05 à 11:59

de rien
à la prochaine



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