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f(x)=((a^x+b^x)/2)^(1/x)
on a 0 inférieur strictement à a inférieur strictement à b
pour tout x de R* f(x)=((a^x + b^x)/2)^(1/x)
1a Montrer pour tout x de R*, (1/x)ln((a^x + b^x)/2)= ln b + (1/x) ln ((1+(a/b)^x)/2)
J'ai réussi
Pour la suite de l'exo je précise que la notion d'équivalent m'est familière (je suis pas vraiment scolarisé en term mais mon niveau correspond en gros)
b Déterminer un équivalent de (a/b)^x -1 en 0
Je trouve xln(a/b)
c Ecrire (1+(a/b)^x)/2 sous la forme 1+
(x) avec lim(x)=0 pour x tend vers 0
en déduire un équivalent en 0 de (1/x)ln((1+(a/b)^x)/2)
Je trouve (x) et l'équivalent je trouve (x)/x qui est aussi égal à (ln(a/b))/2
d Déterminer lim f en 0 Peut on prolonger par continuité f en 0?
je trouve lim f en 0 = racine de (ab)
et on peut prolonger en 0
2a quelle est la limite en +infini de (1/x)ln((1+(a/b)^x)/2)? en déduire lim f en + infini
je trouve d'abord lim=0 puis lim f en + infini = b
b Montrer de même que lim f(x) en - infini = a
j'y arrive aussi
Jusque la je pense avoir tout bon, pouvez vous confirmer?
c'est maintenant que je bloque
3a Montrer que l'on peut trouver B supérieur strictement à 0 tel que pour tout x supérieur strictement à B on ait f(x) inférieur à b+1 et A inférieur strictement à 0 tel que pour tout x f(x) inférieur à a+1
b Montrer que le prolongement de f est continu sur R
c En déduire que f est bornée
Je bloque complètement et cela fait un bout de temps que je bosse dessus pouvez vous m'aider à faire la 3a,b,c j'ai mis mes résultats précédents pour comprendre la logique de l'exo
Merci
Personne s'il vous plait? Je sais que l'exo est long mais il est pas facile je bloque vraiment et pourtant j'aimerais finir surtout que j'ai pas mal bossé dessus
Hello.
Bien que tu penses que ton exercice est du niveau terminale, je te conseille quand même de le poser sur le forum "supérieur" où il est un peu plus à sa place. 
Et il se trouve que je suis vraiment en terminal mais suite à des problèmes personnels j'ai dû suivre deux années de cours un peu spéciales avec un professeur particulier qui m'a donc fait faire le programme de term en un peu plus approfondi
Désolé...je ne peux pas t'aider...et comme tu vois personne ne répond sur ce forum. Ton exercice relève du supérieur. Fait copier-coller...ça te prendra 2 secondes.
on a 0 inférieur strictement à a inférieur strictement à b
pour tout x de R* f(x)=((a^x + b^x)/2)^(1/x)
1a Montrer pour tout x de R*, (1/x)ln((a^x + b^x)/2)= ln b + (1/x) ln ((1+(a/b)^x)/2)
J'ai réussi
Pour la suite de l'exo je précise que la notion d'équivalent m'est familière (je suis pas vraiment scolarisé en term mais mon niveau correspond en gros)
b Déterminer un équivalent de (a/b)^x -1 en 0
Je trouve xln(a/b)
c Ecrire (1+(a/b)^x)/2 sous la forme 1+(x) avec lim(x)=0 pour x tend vers 0
en déduire un équivalent en 0 de (1/x)ln((1+(a/b)^x)/2)
Je trouve (x) et l'équivalent je trouve (x)/x qui est aussi égal à (ln(a/b))/2
d Déterminer lim f en 0 Peut on prolonger par continuité f en 0?
je trouve lim f en 0 = racine de (ab)
et on peut prolonger en 0
2a quelle est la limite en +infini de (1/x)ln((1+(a/b)^x)/2)? en déduire lim f en + infini
je trouve d'abord lim=0 puis lim f en + infini = b
b Montrer de même que lim f(x) en - infini = a
j'y arrive aussi
Jusque la je pense avoir tout bon, pouvez vous confirmer?
c'est maintenant que je bloque
3a Montrer que l'on peut trouver B supérieur strictement à 0 tel que pour tout x supérieur strictement à B on ait f(x) inférieur à b+1 et A inférieur strictement à 0 tel que pour tout x f(x) inférieur à a+1
b Montrer que le prolongement de f est continu sur R
c En déduire que f est bornée
Je bloque complètement et cela fait un bout de temps que je bosse dessus pouvez vous m'aider à faire la 3a,b,c j'ai mis mes résultats précédents pour comprendre la logique de l'exo
Merci
*** message déplacé ***
ok c'est fait
Mais c'est bizarre que tu ne puisses pas m'aider sur ton profil le niveau indiqué est capes...
Sûr mais bon faudrait que je passe trop de temps sur ton exo...je n'ai plus l'entrainement ( il y a quand même 40 ans ) et j'ai plein de "vrais" élèves de lycée à qui je dois répondre. Tu comprends ? 
ok pas de problème c'est pas grave, mais je pense qu'une bonne partie est accessible à un élève de term S
Enfin bon je l'ai déplacé donc c'est bon
Merci quand même
on a 0 inférieur strictement à a inférieur strictement à b
pour tout x de R* f(x)=((a^x + b^x)/2)^(1/x)
1a Montrer pour tout x de R*, (1/x)ln((a^x + b^x)/2)= ln b + (1/x) ln ((1+(a/b)^x)/2)
J'ai réussi
Pour la suite de l'exo je précise que la notion d'équivalent m'est familière (je suis pas vraiment scolarisé en term mais mon niveau correspond en gros)
b Déterminer un équivalent de (a/b)^x -1 en 0
Je trouve xln(a/b)
c Ecrire (1+(a/b)^x)/2 sous la forme 1+(x) avec lim(x)=0 pour x tend vers 0
en déduire un équivalent en 0 de (1/x)ln((1+(a/b)^x)/2)
Je trouve (x) et l'équivalent je trouve (x)/x qui est aussi égal à (ln(a/b))/2
d Déterminer lim f en 0 Peut on prolonger par continuité f en 0?
je trouve lim f en 0 = racine de (ab)
et on peut prolonger en 0
2a quelle est la limite en +infini de (1/x)ln((1+(a/b)^x)/2)? en déduire lim f en + infini
je trouve d'abord lim=0 puis lim f en + infini = b
b Montrer de même que lim f(x) en - infini = a
j'y arrive aussi
Jusque la je pense avoir tout bon, pouvez vous confirmer?
c'est maintenant que je bloque
3a Montrer que l'on peut trouver B supérieur strictement à 0 tel que pour tout x supérieur strictement à B on ait f(x) inférieur à b+1 et A inférieur strictement à 0 tel que pour tout x f(x) inférieur à a+1
b Montrer que le prolongement de f est continu sur R
c En déduire que f est bornée
Je bloque complètement et cela fait un bout de temps que je bosse dessus pouvez vous m'aider à faire la 3a,b,c j'ai mis mes résultats précédents pour comprendre la logique de l'exo
Merci
*** message déplacé ***
s'il vous plait une ame bienveillante pour me sortir de cette ornière et me remttre dans le droit chemin?
*** message déplacé ***
Okay je reviens à ton problème puisque personne ne veut répondre.
x
+oo 
f(x) b
cela peut s'exprimer ainsi :
x+oo f(x)-b 0
Autrement dit il faut bien qu'à un certain moment, pour un certain nombre B>0 si x > B alors f(x)-b < 1 c'est à dire f(x) < b+1.
Raisonnement identique pour -oo.
Bonjour,
0 < a < b
Df = R-{0}
f(x) = [(a^x + b^x)/2]^(1/x)
1a)
ln[f(x)] = (1/x).ln[(a^x + b^x)/2]
= (1/x).ln[(b^x).((a/b)^x + 1)/2]
= (1/x).ln(b^x) + (1/x).ln[((a/b)^x + 1)/2]
= (1/x).x.ln(b) + (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2]
= ln(b) + (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2]
1b)
(a/b)^x - 1 = exp[x.ln(a/b)] - 1
= [1 + x.ln(a/b) + o(x)] - 1
= x.ln(a/b) + o(x)
~ x.ln(a/b)
1c)
1 + (a/b)^x = 2 + [(a/b)^x - 1]
= 2 + [x.ln(a/b) + o(x)]
= 2 + [x.ln(a/b) + x.
(x)] avec lim (x) = 0 quand x tend vers 0
= 2 + 2.d(x) avec d(x) = [x.ln(a/b) + x.(x)]/2 = (x/2).[ln(a/b) + (x)]
Donc (1 + (a/b)^x)/2 = 1 + d(x)
Donc ln[(1 + (a/b)^x)/2] = d(x) + o(x)
Donc (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2] = d(x)/x + o(1)
Donc (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2] = (1/2).[ln(a/b) + (x)] + o(1)
Donc (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2] = (1/2).ln(a/b) + (1/2).(x) + o(1)
Donc (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2] = (1/2).ln(a/b) + o(1) + o(1)
Donc (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2] = (1/2).ln(a/b) + o(1)
Donc (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2] ~ (1/2).ln(a/b)
1d)
ln[f(x)] = ln(b) + (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2]
= ln(b) + [(1/2).ln(a/b) + o(1)]
= ln(b) + (1/2).ln(a/b) + o(1)
= (1/2).ln(b²) + (1/2).ln(a/b) + o(1)
= (1/2).[ln(b²) + ln(a/b)] + o(1)
= (1/2).ln(b²a/b) + o(1)
= (1/2).ln(ab) + o(1)
= ln[√(ab)] + o(1)
Donc ln[f(x)] tend vers ln[√(ab)] quand x tend vers 0
Donc f(x) tend vers √(ab) quand x tend vers 0
Donc f est prolongeable par continuité en 0 en posant f(0) = √(ab)
2a)
On a 0 < a < b
Donc 0 < a/b < 1
Donc (a/b)^x tend vers 0 quand x tend vers +
Donc ln[(1 + (a/b)^x)/2] tend vers ln(1/2) = -ln(2) quand x tend vers +
Donc (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2] tend vers 0 quand x tend vers +
Donc ln[f(x)] = ln(b) + (1/x).ln[(1 + (a/b)^x)/2] tend vers ln(b) quand x tend vers +
Donc f(x) tend vers b quand x tend vers +
2b)
ln[f(x)] = (1/x).ln[(a^x + b^x)/2]
= (1/x).ln[(a^x).(1 + (b/a)^x)/2]
= (1/x).ln(a^x) + (1/x).ln[(1 + (b/a)^x)/2]
= (1/x).x.ln(a) + (1/x).ln[(1 + (b/a)^x)/2]
= ln(a) + (1/x).ln[(1 + (b/a)^x)/2]
On a 0 < a < b
Donc b/a > 1
Donc (b/a)^x tend vers 0 quand x tend vers -
Donc ln[(1 + (b/a)^x)/2] tend vers ln(1/2) = -ln(2) quand x tend vers -
Donc (1/x).ln[(1 + (b/a)^x)/2] tend vers 0 quand x tend vers -
Donc ln[f(x)] = ln(a) + (1/x).ln[(1 + (b/a)^x)/2] tend vers ln(a) quand x tend vers -
Donc f(x) tend vers a quand x tend vers -
3a)
f(x) tend vers b quand x tend vers +
Donc 
> 0, 
B tel que pour tout x > B on a |f(x)-b| <
Donc B tel que pour tout x > B on a |f(x)-b| < 1 (en prenant = 1)
Donc B > 0 tel que pour tout x > B on a |f(x)-b| < 1 (en prenant B suffisamment grand au besoin)
Donc B > 0 tel que pour tout x > B on a -1 < f(x)-b < 1
Donc B > 0 tel que pour tout x > B on a b-1 < f(x) < b+1
f(x) tend vers a quand x tend vers -
Donc > 0, A tel que pour tout x < A on a |f(x)-a| <
Donc A tel que pour tout x < A on a |f(x)-a| < 1 (en prenant = 1)
Donc A < 0 tel que pour tout x < A on a |f(x)-a| < 1 (en prenant A suffisamment petit au besoin)
Donc A < 0 tel que pour tout x < A on a -1 < f(x)-a < 1
Donc A < 0 tel que pour tout x < A on a a-1 < f(x) < a+1
3b)
f est continue sur R-{0} (comme composée de telles fonctions)
Donc le prolongement de f est continu sur R-{0}
Le prolongement de f est continu en 0 (par construction)
Donc le prolongement de f est continu sur R
3c)
A < 0 < B
f est bornée sur ]-;A[ (car b-1 < f(x) < b+1 pour tout x < A)
f est bornée sur [A;B] (car f (en tous cas le prolongement de f) est continue sur [A;B] et [A;B] est un intervalle fermé borné)
f est bornée sur ]B;+[ (car b-1 < f(x) < b+1 pour tout x > B)
Donc f est bornée sur R
Merci cela confirme mes réponses jusqu'au 3 et tu m'as grandement aidé, merci Marcel
Désolé pour le multi-post j'essayais de déplacer le sujet en supérieur mais mon ordinateur bug beaucoup, je suis sincèrement confus, je ne voulais vraiment pas faire de multi-post
Bonne soirée à tous, merci encore Marcel!
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