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f(x)=x admet au moins une solution dans [0;1]
Bonjour, ou plutot bonsoir...
J'ai quelques soucis quant a la solution de ce qui suit :
Soit f une fonction continue sur [0,1] et à valeurs dans [0,1] (c'est à dire que pour tout x appartentant à [0,1], f(x) appartient à [0,1].
Montrer que l'équation f(x) = x admet au moins une solution dans [0,1]
On m'a parlé d"une fonction g(x) = f(x)-x Mais j'avour que je patauge un peu...
Merci d'avance pour un peu d'aide .
bonsoir
il faut l expression de f(x). Ensuite etudier la nouvelle fonction g(x) = f(x)-x en utilisant le TVI
salut
n'y aurai t'il pas l'utilisation du théoreme de la bijection quelquepart(simple curiosité je n'ai pas encore vu ce chapitre en classe)
heu, g(0) = 0 g(1) = 0 ? non elle et constante la fonction g logiqument ?
donc pas strictement monotone ? du moins pas croissante?
Je nne comprends plus ...
g(0) = f(0) et g(1) = f(1)-1, c'est quand même évident !
Etudie maintenant les cas :
1°) f(1) = 1
2°) f(1) < 1.
oui mais f(1) ce nest pas egal a 1 ? 1-1 = 0 ... ?
comment ca jetudie ces cas la ?
Je suis complemtement perdue.. je ne sais pas quoi faire.
1°) Si f(1) = 1, alors le nombre 1 est solution de l'équation f(x) = x et la question est close.
2°) N'oublie pas que f(x) est compris entre 0 et 1, donc si f(1) 
1, cela signifie que :
0 
f(x) < 1.
Donc, f(1) - 1 est strictement négatif
a) Si f(0) = 0, alors, le nombre 0 est solution de l'équation f(x) = x et la question est close.
b) Si f(0) 0, alors, f(0) > 0.
Donc : g(0) = f(0) > 0 et g(1) = f(1) - 1 < 0
Maintenant, utilise le théorème des valeurs intermédiaires en remarquant que g est continue également.
Non, il faut résoudre l'équation f(x) = x.
Cela signifie : existe-t-il x dans [0,1] tel que f(x) = x, donc :
existe-t-il x dans [0,1] tel que f(x) - x = 0 ?
En écartant les cas f(0) = 0 et f(1) = 1 (ce qui répond de suite au problème), nous avons :
g(0) = f(0) > 0
g(1) = f(1) - 1 < 0
g est continue et passe d'une valeur > 0 à une valeur < 0 lorsque x varie de 0 à 1.
Par le théorème des valeurs intermédiaires : il existe au moins une valeur a de x entre 0 et 1 telle que g(a) = 0
Mais g(a) = 0 signifie f(a) = a
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