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f(x+y)=f(x)+f(y)
Bonjour ,
J'ai un peu de mal sur un Dm , sa serai sympathique si vous pouvez m'aider 
Voici l'énoncé :
Soit f une fonction dérivable sur R telle que , pour tous les réels x et y :
f(x+y)=f(x)+f(y) (1)
1) Déterminer la valeur de f(0) et démontrer que f est une fonction impair
2)a)Montrer, par récurrece sur n, que pour tout n appartient a N et tout x appartient a R f(nx)=nf(x)
b)Démontrer ensuite cette relation pour tout n entier strictement négatif.
3) En dérivant f par rapport à la variable aléatoire x, démontrer que, pour tous les réels x et y :
f'(x+y)=f'(x)
En déduire que f' est une fonction constante sur R. On pourra prendre pour x une valeur particulière
4) En déduire toute les fonctions dérivables sur R qui vérifient (1)
Voici ce que j'ai essayé de faire :
1) f(0+0)=f(0)+f(0)=0
donc f(0)=0
f(0)=f(x-x)
0=f(x)+f(-x)
donc f(-x)=f(x)
donc f est impair
2)a)Montrons que : f((n+1)x)=(n+1)f(x)
f((n+1)x)=f(nx+x)
Or f(nx+x)=f(nx)+f(x)
=nf(x)+f(x)
=(n+1) f(x)
CQFD
Je suis bloqué a partir d'ici , merci d'avance de votre aide
Wazaaa
bonjour
2)
pour la récurrence
indique nettement ton hypothèse de récurrence
*tu sais que f est impaire donc
pour tout réel x et entier naturel n f(-(nx))=-f(nx)=-nf(x)d'aprés a
donc si m est un entier négatif m=-n avec n entier positif
et f(mx)=f(-nx)=-nf(x) d'aprés ce qui précède
soit f(mx)=mf(x)
3)dans (1)tu dérives à droite et à gauche par rapport à x
*à gauche f(x+y)=f(u(x))avec u(x)=x+y=>f(u(x))'=u'(x)f'(u(x))=1f'(x+y)
**à droite(f(x)+f(y))'=f'(x)
tu obtiens bien la relation demandée
Bonjour,
pour la question 3 :
3) En dérivant f par rapport à la variable aléatoire x, démontrer que, pour tous les réels x et y :
f'(x+y)=f'(x)
En déduire que f' est une fonction constante sur R. On pourra prendre pour x une valeur particulière
Dériver par rapport à x veut dire dériver ta fonction en considérant
la suite est simple.
4) En déduire toute les fonctions dérivables sur R qui vérifient (1)
ça découle directement de ce qui a été démontrer dans les questions précédentes.
Bon courage et bonnes fêtes !
Mathx96
Pour veleda :
HR : f(nx)= nf(x)
Par contre je ne comprends pas la question 3 :
-comment vous passez de u'(x)f'(u(x)) à f'(x+y).
-comment vous passez de (f(x)+f(y))' à f'(x)
Pour Mathx96 :
Je ne comprend pas pourquoi vous mettez d/dx devant chaque membres , d/dx est bien la constante ?
Il ne suffit donc pas juste de mettre d/dx à la place de f(y) ?
Merci de votre aide et bonne fetes à vous !
Wazaaa
NB sur la question 1) :
a)
1) f(0+0)=f(0)+f(0)=0
donc f(0)=0
f(0+0)=f(0) quelle que soit f
mais ici : f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
soit finalement : f(0)=2f(0) et donc : f(0)=0
b)
donc f(-x)=f(x)
donc f est impair
est une autre façon de noter la dérivée appelée notation de Leibniz; pour une fonction à une variable ça correspond à la particule "prime" :
En revanche, là où elle a tout son sens, c'est dans une fonction
à plusieurs variables (2 en l'occurrence). Ce que j'ai fait n'est pas
très rigoureux non plus car il faudrait normalement mettre le signe
qui représente une dérivée partielle (dérivée d'une fonction à plusieurs
variables par rapport à une seule variable, x en l'occurrence) mais pour
éviter de brusquer un peu les choses, et en pensant que la première notation
était connue, j'avais laissé le signe d'une dérivée totale.
Ainsi, ce que j'ai fait si tu veux c'est
car est constant (et donc
) mais je trouvais cette notation
un peu ambiguë pour la simple raison qu'on ne sait pas par rapport à quoi on dérive.
En espérant que cette explication a été utile.
Mathx96.
Ps : Bonne année 2013 !
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