le titre doit plutôt être FACTORIELLE

un indice

0 s'obtient avec un produit de nombres valant x0 (10 ou 20 ou...) ou valant y2*z5 (2*5 ou 12*15 ou ...)

A toi

Désolé pour le titre je pensais aux vectorielle et j'ai confondu...

Bonsoir à tous . J'essaye de faire cet exercice , mais je n'ai pas compris l'explication donné . Quelqu'un peut-il en donner une autre , merci d'avance .

Bonjour,

La décomposition en facteurs premiers d'un nombre (en base 10, bien sûr) qui se termine par des zéros fait apparaître quelque chose comme :

2^a.3^x.5^b.7^z....

On ne s'intéressera pas aux puissances de 3, de 7 et des autres nombres premiers. On s'intéressera seulement aux puissances (a) de 2 et aux puissances (b) de 5

Exemple : quelques nombres qui se terminent par un seul zéro :
30 = 2¹.3¹.5¹
50 = 2¹.5²
90 = 2¹.3².5¹

Que peux-tu dire des puissances de 2 et de 5 pour ces nombres ?

Considère ensuite par exemple des nombres qui se termninent par deux zéros

Même question : que peux-tu dire des puissances de 2 et de 5 pour ces nombres ?

Voici la piste à suivre (mais elle n'est pas finie et peut réserver encore quelques surprises... c'est pour cela que l'exercice est intéressant).

Bonjour Coll .

Pour les nombres se terminant que par un seul zéro les puissances de 2 et de 5 pour ces nombres sont soit :

-  ¹
-   ²

Pour les nombres se terminant avec deux zéros :
( J'ai fait quelques exemples )
2².5² = 100
2².3².5² = 900
2².3³.5³

Les puissances sont : ² et ³

Cela est une continuité je suppose :
       - Pour les nombres se terminant que par 3 zéros les puissances de 2 et de 5 pour ces nombres sont ³ ; ⁴
       - Pour les nombres se terminant que par 4 zéros les puissances de 2 et de 5 pour ces nombres sont ⁴ ; ⁵

Dans la décomposition d'un nombre qui se termine par un seul zéro, l'un des exposants de 2 ou de 5 vaut exactement 1 et l'autre vaut au moins 1

Dans la décomposition d'un nombre qui se termine par exactement deux zéros, l'un des exposants de 2 ou de 5 vaut exactement 2 et l'autre vaut au moins 2

etc.

Dans la décomposition d'un nombre qui se termine par exactement dix zéros (question 2a), l'un des exposants vaut exactement 10 et l'autre vaut au moins 10
___________________

Regarde maintenant la suite des entiers naturels positifs avec laquelle on calcule une factorielle. Par exemple factorielle 10 qui s'écrit 10 !

10 ! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10

Quel sera l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 10 ! Attention de bien compter, ne va pas trop vite pour ne pas en oublier. Ceci sera riche d'enseignements pour la suite.
Quel sera l'exposant de 5 ?

En conclusion, pour compter tous ces zéros, à quel exposant va-t-on s'intéresser, à celui de 2 ou à celui de 5 ?

Bonsoir Coll , désolé du retard de ma réponse , j'ai eu un empêchement aujourd'hui . Alors dans la décomposition de 10 ! :
      - l'exposant de 2 sera ⁸
      -  l'exposant de 5 sera ²

Pour compter tous ces zéros , on va donc s'intéresser à l'exposant de 5 qui est ² . Comme on peut le voir 10 ! = 3628800  , il y a deux zéros .

Tu es sur la bonne voie.

Deux conclusions :
. l'exposant de 2 croît beaucoup plus vite que l'exposant de 5 ; on va donc s'intéresser à l'exposant de 5, comme tu l'as bien dit ;
. tu as très bien compté l'exposant de 2 ; il vaut 8 pour 10 ! ("factorielle 10")

Il faut absolument bien comprendre pour la suite ce qui se passe :
. le nombre de multiples de 2 inférieurs ou égaux à 10 est 5
. le nombre de multiples de 4 = 2² inférieurs ou égaux à 10 est 2
. le nombre de multiples de 8 = 2³ inférieurs ou égaux à 10 est 1

5 + 2 + 1 = 8

l'exposant de 2 pour factorielle 10 est donc 8
____________________

On ne s'intéresse plus aux exposants de 2 ; on va s'intéresser uniquement maintenant aux exposants de 5
et on sait que cela donnera le nombre de zéros.

Je crois que tu as toutes les données en main pour déterminer par combien de zéros se termine factorielle 100

Re-Bonsoir Cool , pourrais-tu me  reexpliquer cela , je n'ai pas très bien compris :


Il faut absolument bien comprendre pour la suite ce qui se passe :
. le nombre de multiples de 2 inférieurs ou égaux à 10 est 5
. le nombre de multiples de 4 = 22 inférieurs ou égaux à 10 est 2
. le nombre de multiples de 8 = 23 inférieurs ou égaux à 10 est 1

5 + 2 + 1 = 8

l'exposant de 2 pour factorielle 10 est donc 8

Oui, ceci est la clef de l'exercice (avec les puissances de 5 ; mais là j'ai volontairement pris l'exemple des puissances de 2 car c'est facile à montrer).

10 ! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10

Les multiples de 2 sont 2, 4, 6, 8 et 10 : ils sont au nombre de 5 et chacun compte pour (au moins) 1 dans l'exposant de 2 ; comptons-le exactement pour 1

Les multiples de 4 sont 4 et 8 : ils sont au nombre de 2 et chacun compterait pour (au moins) 2 dans l'exposant de 2 car 4 = 2² ; convenons de les compter pour exactement 2 ; mais nous les avons déjà comptés pour 1 ; donc il faut les compter pour 1 supplémentaire ; ils sont 2 donc... 2 supplémentaires

Le multiple de 8 est 8 : il est au nombre de 1 et il compterait pour 3 dans l'exposant de 2 car 8 = 2³ ; mais nous avons déjà compté 1 comme multiple de 2, puis compté 1 comme multiple de 4 il reste simplement à ajouter encore un 1 supplémentaire

Conclusion : 5 + 2 + 1 = 8 est l'exposant du 2 dans factorielle 10

D'accord ? Il va te falloir faire le même raisonnement avec les multiples de 5, de 5²... pour compter les zéros de 100 !

Et pour la fin de l'exercice tu devras aussi prendre en compte les multiples de 5³ = 125

Bravo pour ta perséverance ; cet exercice n'est pas facile. Mais c'est une bonne "remise en jambes"

Continue !

Re-re-bonsoir Coll . Merci encore pour ton aide .


La phrase "Conclusion : 5 + 2 + 1 = 8 est l'exposant du 2 dans factorielle 10 " , n'est autre que l'addition des puissances , non ?
Je ne comprends pas alors pourquoi doit-on compter les multiples de 2 , 4 et 8  .

Il y a sûrement plusieurs manières de raisonner. Pour ma part ce que je te propose est la manière qui me permet d'avoir les explications les plus simples.

Si tu veux, refais le raisonnement de 21 h 15 toujours avec les puissances de 2, pour 20 !
Tu verras que cette manière de compter permet de ne pas en oublier et de ne pas compter deux fois le même. C'est l'objectif !

Bonsoir Coll je réessaye le premier raisonnement .

20 ! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20


le nombre de multiples de 2 inférieurs ou égaux à 20 est 10
le nombre de multiples de 4 inférieurs ou égaux à 20 est 4
le nombre de multiples de 8 inférieurs ou égaux à 20 est 2
le nombre de multiples de 16 inférieurs ou égaux à 20 est 1

Etrange , il m'en manque 1 .

Correction , c'est bien 2¹⁷ , il ne m'en manque pas apparement .

Si j'applique cela à 100 !

Le nombre de multiples de 5¹ inférieurs ou égaux à 100 est 20
Le nombre de multiples de 25 = 5² inférieurs ou égaux à 100 est 3
Le nombre de multiples de 125³ inférieurs ou égaux à 100 est 0 .

J'en déduis que 100 ! a 23 zéros .

* Le nombre de multiples de 5³ = 125

Je fais la suite demain  . Bonne nuit  

Ton message de 23 h 29 :
le nombre de multiples de 4 inférieurs ou égaux à 20 est 5 (parce que 5 4 = 20 )

Donc dans la décomposition de 20 ! en nombres premiers, l'exposant de 2 sera 18
____________________

Revenons aux zéros qui terminent 100 !

Le nombre de multiples de 25 = 5² inférieurs ou égaux à 100 est 4 (parce que 4 25 = 100 )

Donc l'exposant de 5 dans la décomposition de 100 ! en facteurs premiers sera 20 + 4 = 24

En conséquence, le nombre de zéros qui terminent 100 ! est 24
____________________

Processus "inverse" maintenant (ne te trompe pas en comptant les multiples )

Quel est le plus petit entier n tel que n ! se termine par exactement 10 zéros ?

Bonjour Coll . J'aimerais comprendre mon erreur .

20 ! = 1.2.3.2².5.2.3.7.2³.9.2.5.11.2.6.13.2.7.15.2⁴.17.2.9.19.2².5

Je n'en compte que 17 , je ne comprends pas .

20 ! = 1.2.3.22.5.2.3.7.23.9.2.5.11.2².3.13.2.7.15.24.17.2.9.19.22.5

J'avais oublié le 6 de 2.6 = 2².3

Il y a donc 2¹⁸ . Comme je l'avais trouvé sur mon brouillon , c'est ce qui m'a fait douter par la suite .

Pour 100! :

5² = 25
2.5² = 50
3.5² = 75
4.5² = 100

Il y a 4 multiples de 25. J'ai compris mes erreurs .

Pour que n! se termine par exactement 10 zéros ; il faut qu'il y est dans sa décomposition en facteurs premiers 5¹⁰ . Est-ce que jusque là , c'est correct ?

C'est tout à fait cela...

Quel est donc le plus petit entier n tel que n ! ait dans sa décomposition en facteurs premiers 5¹⁰ ?

5¹⁰.2¹⁰ = 1 0000000000 . Est-ce cela ?

Ce n'est pas cela...

N'oublie pas que maintenant nous faisons un recherche un peu "inverse" de la précédente.
Recherche précédente : par combien de zéros se termine 10 ! ou 20 ! ou 100 !

Nouvelle recherche : pour que n ! se termine par 10 zéros quelle est la plus petite valeur possible pour n

Exemple : Quel est la plus petite valeur de n telle que n ! se termine par 7 zéros ?
Réponse : il suffit de n = 30 ; en effet :

. le nombre de multiples de 5 inférieurs ou égaux à 30 est 6
. le nombre de multiples de 25 inférieurs ou égaux à 30 est 1
6 + 1 = 7
donc 30 ! se termine par 7 zéros

En effet , j'ai fait n'importe quoi . Alors , en reprenant les choses en mains , cela me donne :
Pour que n ! se termine par 10  zéros , la plus petite valeur possible pour n est n = 45 .

. le nombre de multiples de 5 inférieurs ou égaux à 45 est 9
. le nombre de multiples de 25 inférieurs ou égaux à 45 est 1
9 + 1 = 10
donc 45 ! se termine par 10 zéros



Pour 100 zéros . Il faut que dans sa décomposition , il y est 5¹⁰⁰ . Là , j'ai essayé 375 , il n'a que 93 zéros . Je continues mes essais . Sinon , quand on divise N / 125 , et que le résultat est à virgule , on ne le compte pas commme un facteur premier , n'est-ce pas ?

La première factorielle qui se termine par 10 zéros est bien 45 !

Bravo !

Tu tâtonnes ; sache que c'est tout à fait autorisé en arithmétique. On traite le problème et on arrive à quelques cas que l'on regarde de près. Tu fais comme il faut !

Bon pour n = 405 ; on a

. le nombre de multiples de 5 inférieurs ou égaux à 405 est 81
. le nombre de multiples de 25 inférieurs ou égaux à 405 est 16
. le nombre de multiples de 125 inférieurs ou égaux à 405 est 3,24

Mais je ne suis pas sur .

Je crois que c'est la première fois que je mets ce smiley pour un exercice ; mais tu l'as bien mérité !

Oui ! 405 ! (factorielle de 405) est la première valeur de factorielle à se terminer par 100 zéros.

____________________________

Je vais dans le topic initial (qui est dans le forum expresso) te proposer d'autres exercices de révision. Tu me diras quoi.

Merci beaucoup Coll , on se retrouve dans l'autre topic .

je t'en prie.
A bientôt donc !