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Factorisation avec des complexes somme et différence

Posté par
hbx360 15-11-21 à 18:18

Bonjour,

Dans mon livre de math sur les complex j'ai 2 formules qui sont les suivantes :

e^{ip} + e^{iq} = e^{i \left( \frac{p+q} { 2}\right)}\left(e^{i \left( \frac{p-q}{2}\right)} + e^{i \left( \frac{q-p}{2}\right)} \right) = 2e^{i \left( \frac{p+q} { 2}\right)}cos\left(\frac{p-q}{2} \right) \\ \\ e^{ip} - e^{iq} = e^{i \left( \frac{p+q} { 2}\right)}\left(e^{i \left( \frac{p-q}{2}\right)} - e^{i \left( \frac{q-p}{2}\right)} \right) = 2e^{i \left( \frac{p+q} { 2}\right)}sin\left(\frac{p-q}{2} \right)

Mais je n'arrive pas à comprendre comment à partir de ses formules on arrive à en déduire la somme et la différence trigonométrique suivante :

cos\left(p \right) + cos \left( q\right) = 2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) cos \left( \frac{p - q}{2}\right) \\ cos \left( p\right) - cos \left( q\right) = -2 sin \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \\ sin \left( p\right) + sin \left( q \right)= 2 cos \left( \frac{p - q}{2})\right) sin(\frac{p + q}{2}) \\ sin\left( p\right) - sin \left( q \right)= 2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2}\right)

J'ai essayais de de transformer notament e^{i \left( \frac{p+q} { 2}\right)} en cos et sin mais c'est pas vraiment ouf.

Posté par
carpediemre : Factorisation avec des complexes somme et différence 15-11-21 à 18:20

salut

e^{ip} = \cos p + i \sin p ...

Posté par
philgr22re : Factorisation avec des complexes somme et différence 15-11-21 à 18:23

Bonsoir :
Utilise la definition de ei

Posté par
philgr22re : Factorisation avec des complexes somme et différence 15-11-21 à 18:24

Bonsoir Carpe diem :trop tard!

Posté par
philgr22re : Factorisation avec des complexes somme et différence 15-11-21 à 18:34

Deux complexes sont egaux s'ils ont même partie reelle et meem partie imaginaire....

Posté par
hbx360re : Factorisation avec des complexes somme et différence 15-11-21 à 21:46

Merci pour vos réponses.

Posté par
carpediemre : Factorisation avec des complexes somme et différence 16-11-21 à 09:15

de rien

Posté par
hbx360re : Factorisation avec des complexes somme et différence 17-11-21 à 12:27

Donc j'ai fait le développement et j'obtiens :

\\ e^{ip} + e^{iq} = cos\left(p \right) + cos \left( q\right) + isin \left( p\right) + isin \left( q \right) = 2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) cos \left( \frac{p - q}{2}\right) + 2 icos \left( \frac{p - q}{2})\right) sin(\frac{p + q}{2}) \\ \\ e^{ip} - e^{iq} =  cos \left( p\right) - cos \left( q\right) + isin\left( p\right) - isin \left( q \right) =  2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2}\right) -2 sin \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \\

Pour :

cos\left(p \right) + cos \left( q\right) + isin \left( p\right) + isin \left( q \right)

Je ne comprends pas pourquoi on met les cos ensembles et les sin ensembles ?
Concernant le i il est supprimé pour quel raison comment le justifie t-on ?

Et comment on détermine qui va avec quoi, par exemple pourquoi on ne pourrai pas mettre

cos \left( p\right) - cos \left( q\right)  avec  2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2}\right)

Posté par
carpediemre : Factorisation avec des complexes somme et différence 17-11-21 à 14:36

tout simplement parce que :

z = z' <=> Re (z) = Re (z') et  Im (z) = Im (z')

Posté par
hbx360re : Factorisation avec des complexes somme et différence 18-11-21 à 12:05

Donc si je comprends bien comme on a le i dans :

isin \left( p\right) + isin \left( q \right) c'est donc l'imaginaire et comme on a aussi le i dans
2 icos \left( \frac{p - q}{2})\right) sin(\frac{p + q}{2})
c'est aussi un imaginaire et on peut donc faire la relation d'égalité entre les deux.

Et le fait d'enlever les i des formules sa ne gène pas ?

Et pour  e^{ip} - e^{iq} comment on en déduit que

cos \left( p\right) - cos \left( q\right)    va avec

\\ -2 sin \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2} \right)

et que sin\left( p\right) - sin \left( q \right) va avec

\\ 2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2}\right) \\

Parce que là on n'a pas le i pour la formule

\\ 2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2}\right) -2 sin \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2} \right) \\

donc difficile de savoir qui est l'imaginaire est-ce :

\\ 2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2}\right) \\

ou bien :

\\ -2 sin \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2} \right)

Perso j'aurai penché pour le :

\\ -2 sin \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2} \right)

Puisqu'il y a 2 sinus sa m'aurai semblait plus logique que
\\ -2 sin \left( \frac{p + q}{2}\right) sin \left( \frac{p - q}{2} \right)

aille avec sin\left( p\right) - sin \left( q \right)

Posté par
carpediemre : Factorisation avec des complexes somme et différence 18-11-21 à 12:23

mais bon sang !!

si a + ib  = c + id alors a = c et b = d tout simplement ...

Posté par
hbx360re : Factorisation avec des complexes somme et différence 18-11-21 à 20:44

Est-ce que tu pourrai me donner un exemple concret avec les formules du dessus parce que je ne vois pas ; ou me répondre par rapport à mon message.

Posté par
carpediemre : Factorisation avec des complexes somme et différence 18-11-21 à 20:56

mais tu as bon à 12h27 ... ensuite tu te compliques inutilement dans je ne sais quelle réflexion ...

hbx360 @ 17-11-2021 à 12:27

Donc j'ai fait le développement et j'obtiens :

\\ e^{ip} + e^{iq} = cos\left(p \right) + cos \left( q\right) + isin \left( p\right) + isin \left( q \right) = 2 cos \left( \frac{p + q}{2}\right) cos \left( \frac{p - q}{2}\right) + 2 icos \left( \frac{p - q}{2})\right) sin(\frac{p + q}{2})

cos\left(p \right) + cos \left( q\right) + isin \left( p\right) + isin \left( q \right)\red = ... ? ici tout simplement écris ce nombre complexe sous forme algébrique : a + ib  (donc factorise par i)

Je ne comprends pas pourquoi on met les cos ensembles et les sin ensembles ?

ensuite ton nombre complexe e^{ip} + e^{iq} qui s'écrit donc a + ib et aussi A + iB

donc évidemment a = A et b = B

Posté par
hbx360re : Factorisation avec des complexes somme et différence 19-11-21 à 10:56

D'accord je vois le truc je pense, merci de ton aide.

Posté par
carpediemre : Factorisation avec des complexes somme et différence 19-11-21 à 18:29

de rien


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