lake @ 08-08-2023 à 17:22Bonjour à tous,
Va-t-on avoir enfin une factorisation de
en un produit de polynômes du second degré ?
Qu'elle vienne de
Marie3141 ou d'autres, je pense qu'il est grand temps
Ok. Les racines complexes du polynôme
sont au nombre de
et sont les
pour
. Toutes sont de module 1.
Lorsque
, il est facile de voir qu'aucune d'entre elles n'est réelle (sinon elle vaudrait -1 ou 1, qui ne sont pas racines). Il n'y aura donc pas de facteur de degré 1.
On constate par ailleurs que si u est racine
l'est aussi.
Les racines complexes sont donc conjuguées et on peut les prendre deux par deux :
et
sont de produit égal à 1 et de somme égale à
lorsque
Reste plus qu'à utiliser la cloture algébrique de
et dire que
Vérification pour n = 4, 2n = 8
Il ya bien quatre facteurs et les arguments des cosinus sont
,
,
, et
On peut calculer cos(pi/8) grâce à la formule de linéarisation cos²(pi/8) = (1+cos(pi/4))/2 qui donne 4cos²(pi/8) = 2+sqrt(2), d'où la valeur de s que j'ai donnée dans mon post précédent.
De même, le calcul de sin(pi/8) conduit à la valeur que j'ai donnée pour r.
Petit calcul supplémentaire :
(s - r)^2 = s^2 + r^2 - 2sr = 2+sqrt(2) + 2-sqrt(2) - 2sqrt(4-2) = 4 - 2sqrt(2)
et cos(3pi/8) = cos(pi/8 + pi/4) = cos(pi/8)cos(pi/4) - sin(pi/8)sin(pi/4) = sqrt(2)(s-r)/4
impliquent que 2cos(3pi/8) = sqrt(2-sqrt(2)) = r
Enfin, cos(7pi/8) = cos(pi - pi/8) = -cos(pi/8)
et cos(5pi/8) = cos(pi/2 + pi/8) = -sin(pi/8)