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factorisation de X^(2n)+1

Posté par
Marie3141 07-08-23 à 14:13

Bonjour,
Je dois factoriser X^(2n) + 1, pour n>1, dans R[X]... Je n'y arrive pas, pourtant, je ne pense pas que ce soit hors de portée.
Si ça avait été X^(2n)-1, je pensais voir comment faire mais là... Je me suis juste arrêtée à :
X^(2n) + 1 = (X^n + i)(X^n - i)
Toute aide serait donc vraiment bienvenue!!
Par avance merci!

Posté par
phyelec78re : factorisation de X^(2n)+1 07-08-23 à 14:48

Bonjour ,

vous pouvez essayer d'appliquer la formule:

a^n + b^n = (a+b) \times \sum_{p=1}^n a^{n-p} \times (-b)^{p-1}

pour n=3 par exemple.

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation de X^(2n)+1 07-08-23 à 14:51

Bonjour

C'est une possibilité de démarrage.
Cherche les racines n-èmes complexes de i et de -i, après tu regrouperas des termes pour avoir une décomposition réelle.

Posté par
phyelec78re : factorisation de X^(2n)+1 07-08-23 à 14:56

information complémentaire,ma formule n'est valable que pour n impair.
L'approche de Camélia est la mieux je pense.

Posté par
Ulmierere : factorisation de X^(2n)+1 07-08-23 à 19:11

phyelec78 @ 07-08-2023 à 14:56

information complémentaire,ma formule n'est valable que pour n impair.
L'approche de Camélia est la mieux je pense.


La tienne fonctionne aussi par récurrence. Au bout de 1+v_2(n) itérations de ce qu'à déjà fait Marie3141, on finira par tomber sur exposant impair supérieur ou égal à 1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : factorisation de X^(2n)+1 08-08-23 à 10:03

Bonjour,
N'y aurait-il pas un problème avec \; x8 + 1 \; ?

Posté par
Ulmierere : factorisation de X^(2n)+1 08-08-23 à 12:55

Il faut factoriser dans R[X] et R n'est pas algébriquement clos. Mais C est une extension de degré 2, donc la factorisation qu'on cherche sera un produit de facteurs de degré 1 (irréductibles) et de degré 2 irréductibles provenant des produits deux à deux des racines complexes conjuguées.

Dans le cas de X^8+1, il n'y a pas de racine réelle,  donc on cherche un produit de 4 polynômes de degré 2.
Après un petit calcul, on trouve, si je ne m'abuse

X^8+1 = (X^2-r+1)(X^2+r+1)(X^2-s+1)(X^2+s+1)
où on a posé r = \sqrt{2-\sqrt{2}} et s = \sqrt{2+\sqrt{2}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : factorisation de X^(2n)+1 08-08-23 à 13:21

Je voulais dire que ce que tu proposais hier à 19h11 ne semblait alors pas fonctionner.

Il y a une coquille dans ta factorisation de X8+1 :
Il manque des X, derrière les r et s.

Posté par
lakere : factorisation de X^(2n)+1 08-08-23 à 17:22

Bonjour à tous,
Va-t-on avoir enfin une factorisation de x^{2n+1} en un produit de polynômes du second degré ?
Qu'elle vienne de Marie3141 ou d'autres, je pense qu'il est grand temps.
Un résultat (qui n'engage à rien) est une chose; tout est dans la manière d'y parvenir.

Posté par
lakere : factorisation de X^(2n)+1 08-08-23 à 17:23

Mince x^{2n}+1 !

Posté par
Ulmierere : factorisation de X^(2n)+1 08-08-23 à 19:32

lake @ 08-08-2023 à 17:22

Bonjour à tous,
Va-t-on avoir enfin une factorisation de x^{2n+1} en un produit de polynômes du second degré ?
Qu'elle vienne de Marie3141 ou d'autres, je pense qu'il est grand temps


Ok. Les racines complexes du polynôme X^N+1 sont au nombre de N et sont les e^{\dfrac{i(2k-1)\pi}{n}} pour k \in \{0,\cdots,n-1\}. Toutes sont de module 1.
Lorsque N = 2n, il est facile de voir qu'aucune d'entre elles n'est réelle (sinon elle vaudrait -1 ou 1, qui ne sont pas racines). Il n'y aura donc pas de facteur de degré 1.

On constate par ailleurs que si u est racine \bar{u} = u^{-1} l'est aussi.
Les racines complexes sont donc conjuguées et on peut les prendre deux par deux : u_k = e^{\dfrac{i(2k+1)\pi}{2n}} et u_{2n-1-k} = e^{\dfrac{i(1+2(2n-1-k))\pi}{2n}} = e^{\dfrac{-i(2k+1)\pi}{2n}} sont de produit égal à 1 et de somme égale à 2\cos\dfrac{(2k+1)\pi}{2n} lorsque k\in\{0,\cdots n-1\}


Reste plus qu'à utiliser la cloture algébrique de \C et dire que

X^{2n}+1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X-u_k)(X-u_{2n-1-k}) = \prod_{k=0}^{n-1} \left[X^2-2\cos\left(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\right)X + 1\right]


Vérification pour n = 4, 2n = 8
Il ya bien quatre facteurs et les arguments des cosinus sont \pi/8, 3\pi/8, 5\pi/8, et 7\pi/8

On peut calculer cos(pi/8) grâce à la formule de linéarisation cos²(pi/8) = (1+cos(pi/4))/2 qui donne 4cos²(pi/8) = 2+sqrt(2), d'où la valeur de s que j'ai donnée dans mon post précédent.
De même, le calcul de sin(pi/8) conduit à la valeur que j'ai donnée pour r.

Petit calcul supplémentaire :
(s - r)^2 = s^2 + r^2 - 2sr = 2+sqrt(2) + 2-sqrt(2)  - 2sqrt(4-2) = 4 - 2sqrt(2)
et cos(3pi/8) = cos(pi/8 + pi/4) = cos(pi/8)cos(pi/4) - sin(pi/8)sin(pi/4) = sqrt(2)(s-r)/4
impliquent que 2cos(3pi/8) = sqrt(2-sqrt(2)) = r

Enfin, cos(7pi/8) = cos(pi - pi/8) = -cos(pi/8)
et cos(5pi/8) = cos(pi/2 + pi/8) = -sin(pi/8)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : factorisation de X^(2n)+1 08-08-23 à 22:10

Bonsoir,
Je ne trouve tout à fait la même chose ; mais je peux me tromper ou ça peut revenir au même :

\prod_{k=0}^{n-1} \left[X^2-2\cos\left(\dfrac{\pi}{2n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)X + 1\right]

J'utilise que \; X2n + 1 \; n'a aucune racine réelle.
Ses 2n racines complexes sont celles des deux équations suivantes :
Xn = i \; (1)
Xn = -i \; (2)
Les solutions de l'une ne sont pas solutions de l'autre et elles sont conjuguées.
Il suffit donc de résoudre (1).
Les solutions de (1) sont les \; cos(tk)+isin(tk) \; avec k de 0 à n-1 et

t_{k} = \dfrac{\pi }{2n} + \dfrac{2k\pi }{n} . D'où le cosinus obtenu ci-dessus.

Posté par
lakere : factorisation de X^(2n)+1 09-08-23 à 12:07

Bonjour,
J'avais obtenu la même formule que Sylvieg avec un argument du cosinus : \dfrac{(4k+1)\pi}{2n}
La formule d'Ulmiere marche aussi

Posté par
Sylvieg Moderateurre : factorisation de X^(2n)+1 09-08-23 à 12:27

D'accord
J'ai démarré en utilisant la piste amorcée par Marie3141 et poursuivie par Camélia.
@Ulmiere,
Pourquoi parler de clôture algébrique quand tu regroupes les facteurs deux par deux ?

Posté par
Ulmierere : factorisation de X^(2n)+1 09-08-23 à 14:11

Parce qu'avant de regrouper les termes il faut trouver un corps de décomposition auquel appartiennent les n racines de X^n+1.
Le même raisonnement que celui qu'on a fait pour R permet de déduire que ce polynôme est irréductible sur Q sans avoir à utiliser le critère d'Eisenstein

Posté par
Sylvieg Moderateurre : factorisation de X^(2n)+1 09-08-23 à 15:56

Il suffit de regrouper les termes avec racines conjuguées.
Quant à l'irreductibilité des facteurs obtenus, un discriminant fait l'affaire, non ?


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