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factorisation de X^(2n)+1
Bonjour,
Je dois factoriser X^(2n) + 1, pour n>1, dans R[X]... Je n'y arrive pas, pourtant, je ne pense pas que ce soit hors de portée.
Si ça avait été X^(2n)-1, je pensais voir comment faire mais là... Je me suis juste arrêtée à :
X^(2n) + 1 = (X^n + i)(X^n - i)
Toute aide serait donc vraiment bienvenue!!
Par avance merci!
Bonjour
C'est une possibilité de démarrage.
Cherche les racines n-èmes complexes de i et de -i, après tu regrouperas des termes pour avoir une décomposition réelle.
information complémentaire,ma formule n'est valable que pour n impair.
L'approche de Camélia est la mieux je pense.
information complémentaire,ma formule n'est valable que pour n impair.
L'approche de Camélia est la mieux je pense.
La tienne fonctionne aussi par récurrence. Au bout de
Il faut factoriser dans R[X] et R n'est pas algébriquement clos. Mais C est une extension de degré 2, donc la factorisation qu'on cherche sera un produit de facteurs de degré 1 (irréductibles) et de degré 2 irréductibles provenant des produits deux à deux des racines complexes conjuguées.
Dans le cas de , il n'y a pas de racine réelle, donc on cherche un produit de 4 polynômes de degré 2.
Après un petit calcul, on trouve, si je ne m'abuse
où on a posé et
Je voulais dire que ce que tu proposais hier à 19h11 ne semblait alors pas fonctionner.
Il y a une coquille dans ta factorisation de X8+1 :
Il manque des X, derrière les r et s.
Bonjour à tous,
Va-t-on avoir enfin une factorisation de en un produit de polynômes du second degré ?
Qu'elle vienne de Marie3141 ou d'autres, je pense qu'il est grand temps.
Un résultat (qui n'engage à rien) est une chose; tout est dans la manière d'y parvenir.
Bonjour à tous,
Va-t-on avoir enfin une factorisation de
Qu'elle vienne de Marie3141 ou d'autres, je pense qu'il est grand temps
Ok. Les racines complexes du polynôme
Lorsque
On constate par ailleurs que si u est racine
Les racines complexes sont donc conjuguées et on peut les prendre deux par deux :
Reste plus qu'à utiliser la cloture algébrique de
Vérification pour n = 4, 2n = 8
Il ya bien quatre facteurs et les arguments des cosinus sont
On peut calculer cos(pi/8) grâce à la formule de linéarisation cos²(pi/8) = (1+cos(pi/4))/2 qui donne 4cos²(pi/8) = 2+sqrt(2), d'où la valeur de s que j'ai donnée dans mon post précédent.
De même, le calcul de sin(pi/8) conduit à la valeur que j'ai donnée pour r.
Petit calcul supplémentaire :
(s - r)^2 = s^2 + r^2 - 2sr = 2+sqrt(2) + 2-sqrt(2) - 2sqrt(4-2) = 4 - 2sqrt(2)
et cos(3pi/8) = cos(pi/8 + pi/4) = cos(pi/8)cos(pi/4) - sin(pi/8)sin(pi/4) = sqrt(2)(s-r)/4
impliquent que 2cos(3pi/8) = sqrt(2-sqrt(2)) = r
Enfin, cos(7pi/8) = cos(pi - pi/8) = -cos(pi/8)
et cos(5pi/8) = cos(pi/2 + pi/8) = -sin(pi/8)
Bonsoir,
Je ne trouve tout à fait la même chose ; mais je peux me tromper ou ça peut revenir au même :
J'utilise que X2n + 1
n'a aucune racine réelle.
Ses 2n racines complexes sont celles des deux équations suivantes :
Xn = i (1)
Xn = -i (2)
Les solutions de l'une ne sont pas solutions de l'autre et elles sont conjuguées.
Il suffit donc de résoudre (1).
Les solutions de (1) sont les cos(tk)+isin(tk)
avec k de 0 à n-1 et
. D'où le cosinus obtenu ci-dessus.
Bonjour,
J'avais obtenu la même formule que Sylvieg avec un argument du cosinus :
La formule d'Ulmiere marche aussi 
D'accord
J'ai démarré en utilisant la piste amorcée par Marie3141 et poursuivie par Camélia.
@Ulmiere,
Pourquoi parler de clôture algébrique quand tu regroupes les facteurs deux par deux ?
Parce qu'avant de regrouper les termes il faut trouver un corps de décomposition auquel appartiennent les n racines de .
Le même raisonnement que celui qu'on a fait pour R permet de déduire que ce polynôme est irréductible sur Q sans avoir à utiliser le critère d'Eisenstein
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