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Niveau seconde
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Factorisations

Posté par
pppa 31-07-10 à 15:26

Bonjour à tous

Voici 3 facorisations que je n'arrive pas à faire

- pouvez-vs me donner une bonne piste svp

1/ 3$x^3.(z+y^2)+y^3.(x-z^2)+z^3.(y-x^2)+xyz.(xyz-1)

2/ 3$x^3+y^3+z^3-3xyz

3/ 3$(x^2+y^2+xy)^2-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2

Mes pistes sans succès
1/ j'ai développé mais ça ne m'aide pas
2/ identité remarquable ?
3/ différence de 2 carrées ?

Merci de m'aider

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 31-07-10 à 15:41

Bonjour pppa,

3$x^3.(z+y^2)+y^3.(x-z^2)+z^3.(y-x^2)+xyz.(xyz-1)

Pas plutôt:

3$x^3.(z-y^2)+y^3.(x-z^2)+z^3.(y-x^2)+xyz.(xyz-1) ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Factorisations 31-07-10 à 15:46

3/

= x^4 + y^4 + x²y² + 2x²y² + 2x³y + 2xy³ - x²y²-y²z²-x²z²
= x^4 + y^4 + 2x²y² + 2x³y + 2xy³ -y²z²-x²z²
= x^4 + y^4 + 2x²y² + 2x³y + 2xy³ -z²(y²+x²)
= x^4 + x²y² + y^4 + x²y² + 2x³y + 2xy³ -z²(y²+x²)
= x²(x² + y²) + y²(x²+y²) + 2xy(x²+y²)-z²(y²+x²)
= (x² + y²).(x² + y² + 2xy-z²)
= (x² + y²).((x+y)²-z²)
= (x² + y²).(x+y-z)(x+y+z)

Vérifie
-----

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 31-07-10 à 16:00

2) x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy^2-xz^2-yx^2-yz^2-zx^2-zy^2)-3xyz

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)(xy+yz+xz)

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Factorisations 31-07-10 à 16:06

2)
Par un chemin détourné  


(x+y+z)³ = (x+y+z)(x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz)
(x+y+z)³ = x³+xy²+xz²+2x²y+2x²z+2xyz + x²y+y³+yz²+2xy²+2xyz+2y²z + x²z+y²z+z³+2xyz+2xz²+2yz²

(x+y+z)³ = x³+y³+z³+3xy²+3xz²+3x²y+3x²z+3y²z+3yz²+6xyz

x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)³ - (3xy²+3xz²+3x²y+3x²z+3y²z+3yz²+9xyz)

x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)³ - (3xy²+3x²y+3xz²+3x²z+3y²z+3yz²+9xyz)
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)³ - (3xy(x+y)+3xz(x+z)+3yz(y+z)+9xyz)
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)³ - (3xy(x+y) + 3xyz +3xz(x+z)+3xyz +3yz(y+z)+3xyz)
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)³ - (3xy(x+y+z) +3xz(x+y+z) +3yz(x+y+z))
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)³ - 3.(x+y+z).(xy+xz+yz)
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)(x+y+z)² - 3.(x+y+z).(xy+xz+yz)
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z).[(x+y+z)² - 3(xy+xz+yz)]
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z).[x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz - 3(xy+xz+yz)]
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z).(x²+y²+z²-xy-xz-yz)
-----

Posté par
mdr_nonre : Factorisations 31-07-10 à 16:07

bonsoir

c'est du niveau seconde sa ?
(j'ai beau réfléchir, et pas trouver une réponse comme ceux des correcteurs ..)

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 31-07-10 à 16:16

J' ai une parenthèse mal placée:

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-xy^2-xz^2-yx^2-yz^2-zx^2-zy^2-3xyz

Posté par
pppare : Factorisations 31-07-10 à 16:33

Bonjour et merci à ts ceux qui sont intervenus.

ds l'ordre inverse

3 : Merci JP ; j'aurais dû développer ici, après facile

2 : Merci Cailloux : dc une identité remarquable à (re)connaître :
    3$x^3+y^3+z^3=(x+y+z).(x^2+y^2+z^2-xy^2-xz^2-yx^2-yz^2+zx^2-zy^2)

1: je comprends ta remarque Cailloux, et j'aurais pu faire une erreur de retranscription. là je crains qu'il y ait une erreur typographique ds l'énoncé du livre  (qqs énoncés + haut il y avait aussi une erreur typographique que j'avais corrigée de moi-même, même si c'est des fois un peu facile de dire c'est une erreur de l'énoncé et on se l'arrange à sa sauce...)

Non là je crois que tu as raison ; dc j'essaie de faire comme si c'est comme tu penses que c'est...  ca ressemble un peu à l'identité remarquable du 2/, non ?

Posté par
pppare : Factorisations 31-07-10 à 16:39

Ok je rectifie pr l'identité remarquable

3$x^3+y^3+z^3=(x+y+z).(x^2+y^2+z^2)-xy^2-xz^2-yx^2-yz^2-zx^2-zy^2

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 31-07-10 à 16:53

Oui pour 16h39.

Pour le premier, avec la rectification, tu dois tomber sur:

3$x^3.(z-y^2)+y^3.(x-z^2)+z^3.(y-x^2)+xyz.(xyz-1)=-(x-z^2)(y-x^2)(z-y^2)



Posté par
pppare : Factorisations 31-07-10 à 18:04

Après recherches j'aboutis à :

3$x^2z.(x-z^2)+xy^2.(y-x^2)+yz^2.(z-y^2)+x^2y^2z^2-xyz
mais après j'avance plus même si en développant le résultat je retrouve bien l'expression à factoriser

Une piste pr avancer svp ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 31-07-10 à 22:31

Je n' ai pas fait beaucoup de calculs...

En appelant A ton expression:

A est un polynôme de degré 6 en x,y,z (le terme en x^2y^2z^2)

Avec z=y^2, on a A=0 donc A est factorisable par z-y^2

Comme A est cyclique en x,y,z, A est factorisable par x-z^2 et y-x^2

Le produit (x-z^2)(y-x^2)(z-y^2) est un polynôme de degré 6 en x,y,z

Donc A=k(x-z^2)(y-x^2)(z-y^2) où k est une constante.

Le terme en xyz est kxyz et dans l' expression de départ, il vaut -xyz

donc k=-1 et A=-(x-z^2)(y-x^2)(z-y^2)

Bon d' accord, c' est tricher...




Posté par
pppare : Factorisations 31-07-10 à 23:11

Bonsoir Cailloux

pdt que tu me répondais je faisais encore de vaines tentatives + recherches internet infructueuses.

Ca j'aurais jamais trouvé tt seul, déjà parce que mes études des fonctions polynômes, et notamment la factorisation à partir des zéros d'un pnm, ne portaient que sur les pnm à une seule variable (même si l'existence de pnm plurivariables a dû être vue en 5ème ou en 4ème..puis + tard les fonctions de plusieurs variables, mais la factorisation sur des pnm plurivariables...je me souviens pas en tt cas).

Sûrement,
- ton expérience et ta pratique étendues des mathématiques te permettent d'avoir de tels réflexes, et d'en faire profiter les autres pr contribuer à leur propre expérience..:)
- il doit y avoir une autre méthode car cet exercice extrait d'un livre de 2nde ne doit pas se baser sur de telles méthodes (ou alors les auteurs sont vicieux... y'en a )

mais là encore faire preuve de débrouillardise (mon prof de philo aurait dit INTELLIGENCE) à partir de son bagage mathématique, est-ce "tricher" ? Je ne le pense pas, même au "second degré" (ni même au 6ème..)

En tt cas avoir achevé cet exercice de cette façon m'aura mis en joie pr ce samedi soir, ou ce qu'il en reste.

Je vais me distraire sereinement

Encore grand merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 31-07-10 à 23:15

Bon, je vais quand même essayer de faire une factorisation lambda mais plus ce soir...

Posté par
pppare : Factorisations 31-07-10 à 23:17

Non plus ce soir..
Pr ma part je déconnecte
Sinon avec plaisir pr la factorisation "lambda", qd tu pourras

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Factorisations 01-08-10 à 09:34

x³(z-y²)+y³(x-z²)+z³(y-x²)+xyz(xyz-1)

= x³z-x³y²+y³(x-z²)+yz³-x²z³+x²y²z²-xyz

= x³z-x²z³-x³y²+x²y²z²+y³(x-z²)+yz³-xyz

= x²z(x-z²)-x²y²(x-z²)+y³(x-z²)-yz(x-z²)

= (x-z²).(x²z-x²y²+y³-yz)

= (x-z²).(x²z-yz-x²y²+y³)

= (x-z²).[z(x²-y)-y²(x²-y)]

= (x-z²).(x²-y).(z-y²)
-----

Posté par
pppare : Factorisations 01-08-10 à 10:04

Bravo JP et merci bcp ; je pense que c'est ce qui était attendu

La méthode de Cailloux employée hier soir reste tt de même époustouflante

merci à tous

Posté par
pppare : Factorisations 01-08-10 à 18:10

Nouvelle égalité à démontrer, à l'aide d'une factorisation :

3$(m^4-n^4)+2n.(m^3+n^3)-(m+n)^2.(m-n)=2m^2n.(m+n)

Premier réflexe : utiliser les identités remarquables connues [différences de  2 carrés ; m3+n3]
ce qui me permet de mettre facilement (m+n) en facteur. J'aboutis à :

3$(m+n).(m^3+n^3-mn^2+m^2n+n^2-m^2)
et je bloque là

Tant l'égalité à démontrer que mon développement ne sont pas faux, mais mon développement est inachevé.

Pr me vérifier tt au long des étapes (non reproduites en détail ici), je fais un test avec m = 3 et n = 2 pr être sûr que j'ai pas fait d'erreurs de signes ou de mise en facteur...

Là encore il y a une astuce, que je ne vois pas.

Si qqn la voit ou peut me mettre sur une piste, merci de me dire

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 01-08-10 à 18:44

Bonjour pppa,

Ton énoncé est faux; il faut lire:

3$(m^4-n^4)+2n.(m^3+n^3)-(m+n)^2.(m-n)^2=2m^2n.(m+n)

Ca marche beaucoup mieux

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 01-08-10 à 18:48

Citation :
je fais un test avec m = 3 et n = 2


Avec ton test le facteur manquant m-n vaut 1 et tu ne t' aperçois pas de l' erreur

Posté par
pppare : Factorisations 01-08-10 à 21:08

Bonjour Cailloux et merci encore une fois pr ton intervention salvatrice

Eh bien oui, ça va bcp mieux comme ça. Bravo pr ta perspicacité ; impressionnant !

Mais il est pourri ce livre, en tt cas bcp de fautes de typographie.

parce que y'en a 3 autres que j'ai - je pense à juste titre, tu penses que je m'en fous de tricher, quel intérêt pr moi ici - corrigé de moi-même + celle que tu as vue hier....

pr en revenir à mon test , pas de chance là ! Je l'au rais fait avec m = 4 et n = 2 par ex. j'aurais vu tt de suite que ça collait pas.. mais bon comme il y avait des puissances de 4 et que je vérifie mes tests sans calculatrice, je préférais rester ds des domaines de calcul mental accessibles à ma petite tête...

Ca fait de l'expérience..tt ça.

Note que l'identité qu'on a vue hier  (x3+y3+z3) = (x+y+z).(x²+y²+z²)-xy²-xz²-yx²-yz²-zx²-zy²  m'a resservi dès aujourd'hui et m'a évité des interventions supplémentaires..

Merci encore

Posté par
pppare : Factorisations 01-08-10 à 22:08

rebonjour,

je reviens sur l'égalité

x3+y3+z3-3xyz = (x+y+z).(x²+y²+z²)-xy²-xz²-yx²-yz²-zx²-zy²-3xyz  (Cf message Cailloux 31/07 16h16)

Ds la mesure où j'ai établi que :
si (x+y+z) = 0
alors   x3+y3+z3-3xyz =0

est-ce que je peux en déduire qu'il existe un polynôme P t.q.
(x+y+z+).P = x3+y3+z3-3xyz,

par analogie avec le tm qui stipule que si a est une racine de P(x), alors il existe un polynôme Q t.q. (x-a).Q(x) = P(x) ?

Merci de me dire

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 01-08-10 à 23:40

Citation :
Ds la mesure où j'ai établi que :
si (x+y+z) = 0
alors x3+y3+z3-3xyz =0

est-ce que je peux en déduire qu'il existe un polynôme P t.q.
(x+y+z+).P = x3+y3+z3-3xyz,


Tout à fait! on peut même être plus précis:

x^3+y^3+z^3-3xyz est un polynôme de degré 3 en x,y,z

x+y+z est un polynôme de degré 1 en x,y,z

On est donc certain que P sera un polynôme de degré 2 en x,y,z

Posté par
pppare : Factorisations 02-08-10 à 11:06

Bonjour Cailloux et merci bcp pr la réponse d'hier soir qui me permet d'achever un exercice.


Je pense qu'une écriture correcte de ma question aurait dû être :

Citation :
je peux en déduire qu'il existe un polynôme P t.q.
(x+y+z).P(x;y;z) = x3+y3+z3-3xyz,
.

Je ne me souviens pas avoir appris, et des recherches ds 2 livres ou sur wikipêdia n'indiquent pas, qu'il existe un théoréme permettant de faire la déduction que j'ai faite lorsqu'on est en présence de polynômes à plusieurs indéterminées.

A quelle occasion on voit ce point ? Ca fait partie des chapitres sur les fonctions polynômes telles qu'on les étudie ds le supérieur, avec ttes les structures qui s'y rapportent ?

Merci de me dire.

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 02-08-10 à 11:29

Bonjour pppa,

Je ne me souviens pas l' avoir "vu", c' est très intuitif...

De toute manière, on cherche à prouver (dans des factorisations) que deux expressions sont égales:

A(x,y,z)=B(x,y,z)

On nous donne A et on cherche une forme factorisée B

Rien ne nous empêche après coup de vérifier en redéveloppant B

J' irai même plus loin: lorsque B est donné dans l' énoncé sous la forme "prouver que A=B":

Il est inutile de faire des calculs de factorisations: on peut développer les deux membres et vérifier qu' ils sont égaux.

Au reste, je pense que tu devrais étudier un chapitre sur les polynômes qui te serait bien utile et qui t' ouvrirait des horizons nouveaux:

"Relations entre les coefficients et les racines"

Une petite recherche avec G te donnera une foultitude de cours la dessus.

On peut faire ensuite de très jolis exercices ...



Posté par
pppare : Factorisations 02-08-10 à 12:29

Rebonjour

plusieurs points que je souhaite aborder ici si tu permets

1/ je pense que je me suis mal exprimé sur ce que j'ai pas compris.
  - j'ai établi que P(x;y;z) = x3+y3+z3-xyz = 0 lorsque x+y+z = 0. Je me demande si on peut considérer que x+y+z est alors une racine de P, et dc sur quelle base je peux en déduire que l'on peut trouver un polynôme dt le produit par x+y+z soit égal à P(x;y;z).

2/ Sur ton conseil, j'ai étudié 2 cours sur les relations entre coefficients et racines de polynômes quelconques (homeomaths et wikipedia) et je te remercie.
Intéressant ces extensions de ce que je savais pr les pnm de degré 2, mais j'avoue que je ne fais pas le lien avec mon pb évoqué en 1. En tt cas je te remercie pr ta suggestion

3/ si tu veux proposer des exercices (ouverts à tous sur le forum)  sur ce point important de l'algèbre générale, moi je suis partant, comme on avait fait l'année dernière pr la trigo.

Merci de me dire pr le 1/

Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 02-08-10 à 13:54

1) Pour moi c' est très intuitif, je l' utilise mais je n' ai jamais vraîment réfléchi à la question...

2) Reprenons la factorisation 2) avec les relations coefficients racines.

Je remplace x,y,z par x_1,x_2,x_3

Soit P le polynôme de degré 3 et dont le coefficient de X^3 est 1 (on dit unitaire) dont les racines sont x_1,x_2,x_3:

P(X)=X^3+a_2X^2+a_1X+a_0

P(X)=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)=X^3-\sigma_1X^2+\sigma_2 X-\sigma_3 avec:

\{\sigma_1=x_1+x_2+x_3=-a_2\\\sigma_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a_1\\\sigma_3=x_1x_2x_3=-a_0

On pose s_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k pour k=1,2,3

On a avec les relations de Newton (voir Wiki par exemple à relations coefficients racines):

s_3+a_2s_2+a_1s_1+3a_0=0

ou encore:

s_3-\sigma_1s_2+\sigma_2s_1-3\sigma_3=0

s_3-3\sigma_3=\sigma_1s_2-\sigma_2 s_1

or s_1=\sigma_1=x_1+x_2+x_3

donc s_3-3\sigma_3=\sigma_1 (s_2-\sigma_2)

Autrement dit:

x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_2x_3-x_3x_1)

ou si tu préfères:

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

Tu vois le lien avec les relations coefficients racines maintanant ?





Posté par
cailloux Correcteurre : Factorisations 02-08-10 à 14:03

J' en ai oublié la moitié à la fin:

Autrement dit:

x_1^3+x_2^3+x_3^3-3x_1x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_2x_3-x_3x_1)

ou si tu préfères:

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

Posté par
pppare : Factorisations 02-08-10 à 17:00

Me revoilà

Citation :
Tu vois le lien avec les relations coefficients racines maintanant ?


Oui, je le vois. merci pr ts ces détails et la référence à Wiki qui m'ont permis de suivre ta démo pas à pas et de comprendre ce lien pas évident du tt pr moi.

Je ne m'attendais pas à ce que des exercices tirés d'un livre de seconde puissent conduire à ces considérations, mais de tte façon il fallait bien que j'avance sur ce chapitre des fonctions polynômes pr lequel je me contentais depuis pas mal d'années de maitriser (je pense que je peux le dire comme ça en tte objectivité) le second degré (encore que je suis sûr que toi ou qqn d'aitre saurait bien me sortir des pbs où je sécherai) et un peu le 3ème degré (Ferrari ; Cardan).

Avec ces détails je comprends de a à  z l'exercice et la factorisation qu'il est possible de faire, avec une bonne introduction à la généralisation de l'étude des fonctions pnm.

Mais tt ça n'a rien de vraiement "intuitif"... (je me permets d'ajouter ce commentaire parce que t'as qd même employé ce mot par 2 fois ds le topic, et pr moi, l'intuition, en mathématiques, c'est pr les grands chercheurs...; je me souviens d'un prof de maths qui voulait pas entendre parler d'intuition ou de "je devine...", et qui était très ferme là-dessus).


Bon pr moi ce sujet est terminé ; encore un grand merci (à JP aussi qui m'a aidé sur d'autres questions)


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