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Niveau Reprise d'études
Familles génératrices
Posté par manu_du_40
Bonjour,
petite question sur les familles génératrices (et plus précisément le théorème de la base incomplète).
Soit E un K-e.v de dimension finie, F un s-e-v de E.
On pose une famille libre de F et
une base de E.
Apparemment, le raisonnement suivant est incorrect :
est une base de E donc c'est a fortiori une famille génératrice de cet espace. Comme F est inclus dans E, il est possible d'exprimer n'importe quel vecteur de F comme combinaison linéaire des e_i.
Cela signifie notamment que est une famille génératrice de F.
D'après le théorème de la base incomplète, il est possible de compléter avec des vecteurs de
pour construire une base de F.
Il m'a été rétorqué que cette façon d'utiliser le théorème de la base incomplète n'est pas correcte car a priori, la base et le s-e-v F n'ont aucun lien...
je pense donc qu'il est faux de dire que si G est une famille génératrice de E, alors elle est aussi génératrice de n'importe quel s-e-v de E.
Le problème est que je n'arrive pas à trouver de contre-exemple... L'énoncé serait-il finalement vrai ?
Merci de m'avoir lu
Manu
Bonjour
le problème vient peut-être du fait que dans B, il peut y avoir des vecteurs qui ne sont pas dans F, alors dire que B est une famille génératrice de F pose problème
mais on peut toujours enlever les vecteurs de B qui ne sont pas dans F, cela donne une nouvelle famille B' qui est une base de F si je ne me trompe pas
Bonjour Zormuche
je crois que le problème vient de là en effet.
Il semble que dire que G est génératrice de E est plus fort que "n'importe quel élément de E s'écrit comme CL de vecteurs de G"... car les vecteurs de G doivent aussi être dans E pour G soit génératrice...
Du coup, ce que j'ai écrit en gras n'est pas correct.
J'espère ne pas dire n'importe quoi 
Bonsoir GBZM
Soit . C'est bien un s.e.v de E et si j'appelle
la base canonique de
, et
un élément de E,
je peux écrire donc j'aurais eu tendance à dire que la réponse à votre question est oui...
Mais apparemment, je me trompe sur la définition d'une famille génératrice. Il faut aussi que chaque vecteur de la famille génératrice soit dans le s-e-v. Dans ce cas, la réponse à votre question serait non du coup
Mais comme je suis du genre à tout le temps douter 
, je serais reconnaissant à quiconque veut bien confirmer.
Manu 
je pense qu'une famille génératrice doit contenir uniquement des vecteurs de ce qu'elle génère, sinon le théorème d'extraction de base n'a plus de sens, comment extraire de ((1,0),(0,1)) une base de {(x,y)
2, x=y} ?
En fait, la notion n'est pas du tout ambigüe.
Quand on écrit que est une famille génératrice de E, le mot "génératrice" qualifie la famille
. Cela apporte une information supplémentaire sur
, mais n'enlève rien à la nature de
. Si tu enlèves cette information supplémentaire (épithète), c'est-à-dire le mot "génératrice", il reste quoi ? Il reste "
est une famille de E".
Bonsoir Ulmiere
en fait, il me paraissait naturel de dire que si un ensemble de vecteurs était capable d'engendrer un certain espace vectoriel, alors cet ensemble était capable d'engendrer n'importe quel espace vectoriel "plus petit" contenu dans l'espace vectoriel de départ (donc un s-e-v) car comme on dit chez nous "qui peut le plus peut le moins".
Mais en mathématiques, il faut souvent se méfier de ce qui semble évident comme le montre le contre-exemple de GBZM
Ulmiere là c'est beaucoup plus clair. Une famille génératrice de E est simplement une famille de E qui est génératrice
Salut,
Il me semble que non, une famille génératrice de , est une famille de
qui engendre
.
Si est un sous-espace vectoriel de
, alors c'est un espace vectoriel
Et donc une famille génératrice de , est une famille de
qui engendre
.
Ulmiere @ 05-12-2020 à 18:10
En fait, la notion n'est pas du tout ambigüe.
Quand on écrit que)
est une famille génératrice de E, le mot "génératrice" qualifie la famille . Cela apporte une information supplémentaire sur , mais n'enlève rien à la nature de . Si tu enlèves cette information supplémentaire (épithète), c'est-à-dire le mot "génératrice", il reste quoi ? Il reste " est une famille de E".
En fait, la notion n'est pas du tout ambigüe.
Quand on écrit que
On ne peut pas enlever le terme "génératrice" d'après la définition de wikipedia qui comment comme ça :
"[...]Une famille de E est dite génératrice de E" si [...]
Cette définition sous-entend bien qu'une famille génératrice de E est nécessairement une famille d'éléments de E.
Un objet solide est dit "jaune" s'il absorbe toutes les longueurs d'onde du spectre lumineux situées entre 210nm et 270nm.
Ca ne veut pas dire pour autant que "jaune" n'est pas un adjectif qualificatif épithète
Dans la définition de Wikipédia, tu ne peux effectivement pas supprimer "génératrice" de la phrase sans qu'elle perde sens et correction, mais dans mon exemple "Soit une famille génératrice de
", tu peux
En fait tu peux même écrire "Soit génratrice de E", mais c'est un abus que je n'aime pas trop.
Et si on pousse encore un peu plus loin, on peut dire que "Soit une famille génératrice de
" est déjà un abus, puisqu'on ne précise pas si elle engendre E comme groupe (donc juste avec des additions et soustractions sans rapport avec le corps de base), ou comme module (par combinaisons linéaires). Et si E est un corps, alors ça pourrait aussi siginifier que la famille l'engendre comme algèbre
J'ai repotassé mes cours et je propose une démonstration pour la 1ère partie du post de manu_du_40 ,
Soit une famille libre de
un sev de
,
Si est une famille génératrice, il n'y a rien à montrer.
Sinon puisque E est de dimension finie, on déduit que l'est aussi, par définition (
est un groupe de type fini) il existe une partie génératrice finie
Notons
Il existe donc tel que
soit libre, si ce n'était pas le cas on aurait tous les éléments
qui s'expriment comme combinaisons linéaires d'élément de
, et puisque
est génératrice on aurait
génératrice, or
ne l'est pas. Ce qui confirme que
est libre, si
est génératrice
est une base, sinon on réitère le raisonnement.
Je ne suis pas sûr que ce soit une bonne idée de se servir de la base de , en tout cas je ne vois pas comment faire.
Tout ça reste à valider par un expert...,
Je ne suis pas d'accord avec ton argument pour expliquer que F est de dimension finie. Il est faux de dire que F est un groupe de type fini. Il est finiment engendré comme espace vectoriel, mais pas forcément comme groupe. Prends par exemple et
.
et
sont de dimension finie, mais aucun des deux n'est un groupe de type fini.
Voici une preuve du théorème de la base incomplète corrigée inspirée de la tienne.
Théorème : Soit un corps et soit
un
-espace veectoriel de dimension finie. Soit
un sev non nul de dimension finie de
et soit
une base de F. On peut la compléter en une base de E.
Preuve : Si , le résultat est trivialement vrai. On supposera dans la suite que
.
La famille ne peut en l'état être une base de E. En effet, il existe
et si
était une base de
, elle serait en particulier génératrice de E et donc il existerait
fini et une suite finie
d'éléments de
tels que
. On aurait alors
, ce qui est absurde.
Ceci montre au passage que est une famille libre de
. Si
est égal à E, le résultat est démontré.
Sinon, si et
sont respectivement des bases de
on applique ce qu'on vient de démontrer avec
et
pour construire
et
.
On obtient de cette façon une suite de sous-espaces vectoriels de strictement inclus les uns dans les autres. Puisque
est de dimension finie, cette suite est nécessairement finie dès que
est fini. Parce que si c'est le cas,
pour tout
définit une suite d'entiers qui tend vers l'infini, et il existe alors
tel que
, ce qui contredit le fait que
.
Autrement dit, le processus d'arrête et il existe un maximal tel que
et
, i.e
(c'est
) . On a alors
qui est une base de
, ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire : Si est une famille libre finie d'un espace vectoriel E de dimension finie, on peut la compléter en une base de
Preuve : On note . C'est un sev de
, qui est non nul parce que
est libre donc non nulle.
en est une base et
est finie, donc
est également de dimension finie. Le théorème ci-dessus nous dit qu'on peut compléter
en une base de
.
Bonjour,
Pourquoi alourdir les énoncés avec ces suppositions "non nul" qui sont complètement inutiles ? La famille vide d'éléments de E, ça existe ! Elle est libre, et elle engendre le sous-espace nul.
Le théorème de la base incomplète, version générale :
Soit G un ensemble générateur de E, soit L une famille libre de E. Alors on peut compléter L en une base de E en lui ajoutant des éléments pris dans G.
Bien-sûr, mais ça demande de bien maitriser les définitions et les preuves sur l'ensemble vide, ce qui n'est pas le cas de notre ami a priori
Ca évite aussi d'avoir à faire attention que {0} n'est pas une base de 0 puisqu'elle n'est pas libre ( 1.0 = 0 mais 1!=0 dans un corps). Plus génralement, {0} n'a pas de rang en tant que sous-module.
merci pour ta remarque Ulmiere, j'ai cherché à jusitifier l'existence d'une famille génératrice de .
Or sur le site mathfrance, on a la définition suivante de mémoire :
Un espace vectoriel est de dimension finie si, et seulement si, il existe une partie finie de
qui engendre
Ulmière, je ne vois pas en quoi il y aurait besoin de faire des démonstrations spécifiques pour l'ensemble vide. L'ensemble vide est un ensemble comme un autre, il n'a pas besoin de traitement spécial et il n'a pas à subir de discrimination !
Bien sur que (0) n'est pas une base de {0} ! La base de {0} est (), la famille indexée par l'ensemble vide. Et {0} a bien un rang : son rang est 0.