Si on appelle x la moitié de la hauteur du cylindre (fais une vue en coupe, avec juste un cercle, et un rectangle inscrit, x est la 1/2 hauteur du rectangle).

R(x) est le rayon du cylindre, et R le rayon de la sphère.

On a d'après Pythagore x² + R(x)² = R²
donc R(x) = (R^2 -x^2)

Surface du cercle base du cylindre : S(x) = Pi*(R(x))^2
S(x) = pi ( R^2 - x^2 )

Volume du cylindre
V(x) = S(x) * 2x = 2 pi x (R^2 -x^2) = 2Pi R^2 x - 2 pi x^3

Tu derives, pour trouver le point d'inflexion de la courbe, et tu trouves x = R/(racine(3))

Avec R le rayon de la sphère, r le rayon du cylindre et h sa hauteur.

Equation du cercle défini par la rencontre de la sphère avec un plan passann par le centre des 2 bases du cylidres et // à ses génératrices.

x²+y² = R²
y = +/- racine carrée(R²-x²)  r = x
h = 2.racine carrée(R²-x²)

V = Pi.r².h
V = 2.Pi.x².racine carrée(R²-x²)

V' = 2Pi.(2x.rac(R²-x²) - x³/rac(R²-x²))
V' = 2Pi(2x(R²-x²)-x³)/rac(R²-x²)  avec x dans [0 ; R[
V' = 2Pi(2xR²-3x³)/rac(R²-x²)

2Pi/rac(R²-x²) > 0 et donc V' a le signe de 2xR²-3x³

V' > 0 pour x dans ]0 ; R.rac(2/3)[ -> V est croissant.
V' = 0 pour x = R.rac(2/3)[
V' < 0 pour x dans ]R.rac(2/3) ; R[ -> V est décroissant.

V est maximum pour x = R.rac(2/3)

Le cylindre de volume max a un rayon r = R.rac(2/3)
et une hauteur h =  2.rac(R²-R²(2/3)) = 2R/rac(3)

Son volume est:
V = Pi.R².(2/3).2R/rac(3)= [(4/3)Pi.R³]/rac3

Soit le volume de la sphère divisé par racine carrée de 3.
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Sauf distraction.  

loool c trés sympas mais...j'ai pas tout compris....ex:
le point d'inflexion de la courbe? c koi sa?
ses génératrices.
et sa?
lol vous pouves essayer de mieux m'expliker merci.....

Les génératrices d'un cylindres, c'est l'ensemble des sgments parallèles entre eux, qui font les cotés.

Le point d'inflexion de la courbe, c'est un raccourci un peu rapide, je te l'accorde.

Une fois que tu as la fonction V(x), qui te donne le volume du cylindre, en fonction de sa demi hauteur

V(x) = 2Pi R^2 x - 2 pi x^3

V'(x) = 2 pi R^2 - 6 pi x^2
V'(x) = 2Pi (R^2 - 3 x^2)

donc si 0 < x < R/racine(3), V'(x) est positif, et donc la fonction volume est croissante.

si x > R/ racine(3), V'(x) est négatif, donc la fonction volume devient décroissante.

Donc la fonction V passe par son maximum pour x1 = R/ racine(3).
Donc quand la hauteur du cylindre est de 2 * x1, soit 2R/racine(3)

Ce qui donne un volume du cylindre Vmax = V(R/racine(3)) = 2Pi R^2 (R/racine(3) - 2 pi (R/racine3)^3
Vmax = 2 Pi R^3 / racine (3) - 2 pi R^3 / (3racine(3))
Vmax = 2 Pi R^3 / racine(3) (1-1/3)

Vmax = 4/3 Pi R^3 / racine(3).